题目
2.讨论下列哪些函数相同:-|||-(1)2lnx与lnx^2;-|||-(2) sqrt ({x)^2} 与x;-|||-(3)x与xsgnx.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数相同
两个函数相同，当且仅当它们的定义域相同，且对于定义域内的每一个x值，它们的函数值都相等。
步骤 2：分析函数(1)
函数$2\ln x$的定义域为$(0,+\infty)$，而函数$\ln {x}^{2}$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。因此，这两个函数的定义域不同，所以它们不相同。
步骤 3：分析函数(2)
函数$\sqrt {{x}^{2}}$的定义域为$(-\infty,+\infty)$，而函数$x$的定义域也为$(-\infty,+\infty)$。但是，对于$x<0$的情况，$\sqrt {{x}^{2}}=-x$，所以这两个函数的函数值不相等，因此它们不相同。
步骤 4：分析函数(3)
函数$x$的定义域为$(-\infty,+\infty)$，而函数$xsgnx$的定义域也为$(-\infty,+\infty)$。对于$x>0$的情况，$xsgnx=x$；对于$x<0$的情况，$xsgnx=-x$；对于$x=0$的情况，$xsgnx=0$。因此，这两个函数的函数值不相等，所以它们不相同。
两个函数相同，当且仅当它们的定义域相同，且对于定义域内的每一个x值，它们的函数值都相等。
步骤 2：分析函数(1)
函数$2\ln x$的定义域为$(0,+\infty)$，而函数$\ln {x}^{2}$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。因此，这两个函数的定义域不同，所以它们不相同。
步骤 3：分析函数(2)
函数$\sqrt {{x}^{2}}$的定义域为$(-\infty,+\infty)$，而函数$x$的定义域也为$(-\infty,+\infty)$。但是，对于$x<0$的情况，$\sqrt {{x}^{2}}=-x$，所以这两个函数的函数值不相等，因此它们不相同。
步骤 4：分析函数(3)
函数$x$的定义域为$(-\infty,+\infty)$，而函数$xsgnx$的定义域也为$(-\infty,+\infty)$。对于$x>0$的情况，$xsgnx=x$；对于$x<0$的情况，$xsgnx=-x$；对于$x=0$的情况，$xsgnx=0$。因此，这两个函数的函数值不相等，所以它们不相同。