7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:-|||-(1) { 处;

考查要点：本题主要考查参数方程的导数计算及利用导数求曲线在某点处的切线方程和法线方程。

解题核心思路：

1. 求导数：利用参数方程求导公式 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$，分别对 $x(t)$ 和 $y(t)$ 求导，再代入 $t = \dfrac{\pi}{4}$。
2. 求切点坐标：将 $t = \dfrac{\pi}{4}$ 代入参数方程，得到曲线上的点 $(x_0, y_0)$。
3. 写切线方程：利用点斜式方程 $y - y_0 = k_{\text{切}}(x - x_0)$，其中斜率 $k_{\text{切}} = \dfrac{dy}{dx}\big|_{t=\pi/4}$。
4. 写法线方程：法线斜率为切线斜率的负倒数，即 $k_{\text{法}} = -\dfrac{1}{k_{\text{切}}}$，再用点斜式方程。

破题关键点：

• 正确计算参数方程的导数，注意链式法则的应用。
• 代入参数值时，三角函数值的准确性（如 $\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos \dfrac{\pi}{2} = 0$）。
• 方程整理时注意化简为标准形式。

第（1）题

求导数 $\dfrac{dy}{dx}$

1. 求 $dx/dt$ 和 $dy/dt$：

   • $x = \sin t \implies \dfrac{dx}{dt} = \cos t$
   • $y = \cos 2t \implies \dfrac{dy}{dt} = -2 \sin 2t$

2. 计算 $\dfrac{dy}{dx}$：
   $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{-2 \sin 2t}{\cos t}$

3. 代入 $t = \dfrac{\pi}{4}$：

   • $\sin 2t = \sin \dfrac{\pi}{2} = 1$
   • $\cos t = \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
   • $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2 \cdot 1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = -2\sqrt{2}$

求切点坐标 $(x_0, y_0)$

• $x_0 = \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
• $y_0 = \cos \left(2 \cdot \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos \dfrac{\pi}{2} = 0$

切线方程

• 斜率 $k_{\text{切}} = -2\sqrt{2}$
• 点斜式方程：
  $y - 0 = -2\sqrt{2}\left(x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
• 整理为标准形式：
  $2\sqrt{2}x + y - 2 = 0$

法线方程

• 斜率 $k_{\text{法}} = -\dfrac{1}{k_{\text{切}}} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
• 点斜式方程：
  $y - 0 = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
• 整理为标准形式：
  $\sqrt{2}x - 4y - 1 = 0$