(9)设在条件X=x下，Y服从正态分布N(x,x²)，X的边缘分布为U(0,1)，则Y²的数学期 望为( ) (A.) (2)/(3) (B.) (1)/(2) (C.) (1)/(3) (D.) (1)/(6)

考查要点：本题主要考查条件分布下的期望计算以及全期望公式的应用，同时涉及正态分布的性质和均匀分布的矩计算。

解题核心思路：

1. 条件分布性质：在给定$X=x$时，$Y$服从正态分布$N(x, x^2)$，需利用正态分布的均值和方差计算$E(Y^2 \mid X=x)$。
2. 全期望公式：通过分层计算，先求$E(Y^2 \mid X=x)$，再对$X$的分布求期望。
3. 均匀分布的矩：计算$E(X)$和$E(X^2)$，其中$X \sim U(0,1)$。

破题关键点：

• 正态分布的平方期望：利用公式$E(Y^2 \mid X=x) = D(Y \mid X=x) + [E(Y \mid X=x)]^2$。
• 全期望公式的应用：将条件期望转化为对$X$的函数求期望。

步骤1：计算条件期望$E(Y^2 \mid X=x)$

在给定$X=x$时，$Y \sim N(x, x^2)$，因此：

• 均值：$E(Y \mid X=x) = x$
• 方差：$D(Y \mid X=x) = x^2$

根据正态分布的性质：
$E(Y^2 \mid X=x) = D(Y \mid X=x) + [E(Y \mid X=x)]^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$

步骤2：应用全期望公式

将条件期望代入全期望公式：
$E(Y^2) = E[E(Y^2 \mid X)] = E(2X^2) = 2E(X^2)$

步骤3：计算$E(X^2)$

由于$X \sim U(0,1)$，其概率密度函数为$f_X(x) = 1$，因此：
$E(X^2) = \int_0^1 x^2 \cdot 1 \, dx = \frac{1}{3}$

步骤4：最终结果

$E(Y^2) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$