题目
设 为标准正态分布的分布函数， 则下列各式中错误的是 A B C D
设 
为标准正态分布的分布函数， 则下列各式中错误的是
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
题目已知 为标准正态分布的分布函数，
则有
则根据正态分布函数的对称性可得：
,
因为
故可得
则可得，故选项A,B正确
根据正态分布函数的概率计算公式，即可得 ，故选项C正确
然后根据正态分布函数的对称性可得：
故选项D错误
综上所述，本题答案选D
解析
步骤 1：理解标准正态分布的性质
标准正态分布的分布函数记为 $\Phi(x)$，它表示随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 的概率，即 $P(X \leq x) = \Phi(x)$。由于正态分布的对称性，$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 表示 $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$，这是标准正态分布的对称性质，因此选项 A 正确。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 表示 $\Phi(x) = P(X < x)$，这是标准正态分布的定义，因此选项 B 正确。
步骤 4：分析选项 C
选项 C 表示 $P(a < X < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$，这是标准正态分布的概率计算公式，因此选项 C 正确。
步骤 5：分析选项 D
选项 D 表示 $P(|X| \leq x) = \Phi(x) - 1$，这是错误的。根据正态分布的对称性，$P(|X| \leq x) = P(-x \leq X \leq x) = \Phi(x) - \Phi(-x) = \Phi(x) - (1 - \Phi(x)) = 2\Phi(x) - 1$，因此选项 D 错误。
标准正态分布的分布函数记为 $\Phi(x)$，它表示随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 的概率，即 $P(X \leq x) = \Phi(x)$。由于正态分布的对称性，$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 表示 $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$，这是标准正态分布的对称性质，因此选项 A 正确。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 表示 $\Phi(x) = P(X < x)$，这是标准正态分布的定义，因此选项 B 正确。
步骤 4：分析选项 C
选项 C 表示 $P(a < X < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$，这是标准正态分布的概率计算公式，因此选项 C 正确。
步骤 5：分析选项 D
选项 D 表示 $P(|X| \leq x) = \Phi(x) - 1$，这是错误的。根据正态分布的对称性，$P(|X| \leq x) = P(-x \leq X \leq x) = \Phi(x) - \Phi(-x) = \Phi(x) - (1 - \Phi(x)) = 2\Phi(x) - 1$，因此选项 D 错误。