已知正常儿童的总胆固醇平均水平是175mg/dl，现测得100名曾患心脏病且胆固醇高的子代儿童的胆固醇平均水平为207.5mg/dl，标准差为40mg/dl。问题：①如何衡量这100名儿童总胆固醇样本平均数的抽样误差？（直接填抽样误差大小的数字）②估计100名儿童的胆固醇平均水平的95%可信区间；（保留两位小数）③根据可信区间判断高胆固醇是否有家庭聚集性，并说明理由。（先判断有无，在说明理由）

为了解决这个问题，我们将分步骤进行。 ### 第一步：衡量总胆固样本平均数的抽样误差 抽样误差是样本平均数与总体平均数之间的差值。样本平均数的抽样误差的度量是标准误（SEM）。标准误的计算公式为： \[ \text{SEM} = \frac{s}{\sqrt{n}} \] 其中 $ s $ 是样本标准差，$ n $ 是样本大小。这里，样本标准差 $ s = 40 $ mg/dl，样本大小 $ n = 100 $。因此，标准误为： \[ \text{SEM} = \frac{40}{\sqrt{100}} = \frac{40}{10} = 4 \text{ mg/dl} \] ### 第二步：估计100名儿童的胆固样本平均数的95%可信区间 95%可信区间的计算公式为： \[ \text{CI} = \bar{x} \pm z \times \text{SEM} \] 其中 $ \bar{x} $ 是样本平均数，$ z $ 是对应于95%置信水平的z分数。对于95%的置信水平，z分数为1.96。这里，样本平均数 $ \bar{x} = 207.5 $ mg/dl，标准误 $ \text{SEM} = 4 $ mg/dl。因此，95%可信区间为： \[ \text{CI} = 207.5 \pm 1.96 \times 4 = 207.5 \pm 7.84 \] 这给我们一个区间为： \[ 207.5 - 7.84 = 199.66 \] \[ 207.5 + 7.84 = 215.34 \] 因此，95%可信区间为： \[ (199.66, 215.34) \] ### 第三步：根据可信区间判断高胆固是否有家庭聚集性 要判断高胆固是否有家庭聚集性，我们需要将95%可信区间与正常儿童的总胆固平均水平进行比较。正常儿童的总胆固平均水平为175 mg/dl。由于95%可信区间 $ (199.66, 215.34) $ 不包括175 mg/dl，我们可以得出结论，曾患心脏病且胆固高的子代儿童的平均胆固水平显著高于正常儿童的平均胆固水平。这表明高胆固具有家庭聚集性。 ### 最终答案 ①抽样误差大小为 $ 4 $ mg/dl。 ②100名儿童的胆固样本平均数的95%可信区间为 $ (199.66, 215.34) $。 ③根据可信区间，高胆固具有家庭聚集性，因为95%可信区间不包括正常儿童的平均胆固水平175 mg/dl。 \[ \boxed{4 \text{ mg/dl}, (199.66, 215.34), \text{具有家庭聚集性}} \]