设随机变量 X sim N(mu, 4^2), Y sim N(mu, 5^2), 记 p_1 = PX leq mu - 4, p_2 = PY geq mu + 5, 则().A. 对任意实数 mu, p_1 = p_2;B. 对任意实数 mu, p_1 C. 对任意实数 mu, p_1 > p_2;D. p_1, p_2 的大小不能确定.

本题主要考察正态分布的性质及概率计算，关键是利用正态分布的标准化转化来比较概率大小。

步骤1：回顾正态分布的标准化

若随机变量$Z \sim N(\mu, \sigma^2)$，则标准化变量$U = \frac{Z - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$（标准正态分布），概率$P\{Z \leq a\}$可转化为$\varPhi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)$，其中$\varPhi(x)$是标准正态分布的累积分布函数，且满足$\varPhi(-x) = 1 - \varPhi(x)$。

步骤2：计算$p_1 = P\{X \leq \mu - 4\}$

已知$X \sim N(\mu, 4^2)$，则$\sigma_X = 4$，标准化得：
$p_1 = P\left\{X \leq \mu - 4\right\} = P\left\{\frac{X - \mu}{4} \leq \frac{(\mu - 4) - \mu}{4}\right\} = P\left\{U_X \leq -1\right\} = \varPhi(- (-1)$
由$\varPhi(-x) = 1 - \varPhi(x)$，得$\varPhi(-1) = 1 - \varPhi(1)$。

步骤3：计算$p_2 = P\{Y \geq \mu + 5\}$

已知$Y \sim N(\mu, 5^2)$，则$\sigma_Y = 5$，标准化得：
$p_2 = P\left\{Y \geq \mu + 5\right\} = P\left\{\frac{Y - \mu}{5} \geq \frac{(\mu + 5) - \mu}{5}\right\} = P\left\{U_Y \geq 1\right\} = 1 - \varPhi(1)$

步骤4：比较$p_1$和$p_2$

由上述计算可知：
$p_1 = \varPhi(-1) = 1 - \varPhi(1) = p_2$
该结果与$\mu$无关，对任意实数$\mu$均成立。