题目
设总体均值为，方差为，n为样本容量，则下列中错误的是（）A.B.C.D.
设总体均值为
，方差为
，n为样本容量，则下列中错误的是（）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
，则
，则
，
，则
，则
，因此选择C。
解析
步骤 1：计算样本均值的期望值
$E(\overline {X})=E(X)=\mu $，因此$E(\overline {X}-\mu )=E(\overline {X})-\mu =\mu -\mu =0$，选项A正确。
步骤 2：计算样本方差的期望值
$E(\dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}})=1$，因为$\dfrac {n-1}{{\sigma }^{2}}{S}^{2}\sim {\chi }^{2}(n-1)$，所以$E(\dfrac {n-1}{{\sigma }^{2}}{S}^{2})=n-1$，从而$E(\dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}})=1$，选项B正确。
步骤 3：计算样本均值的标准化分布
$\dfrac {\overline {X}-\mu }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\sim N(0,1)$，而不是$\dfrac {\overline {X}-\mu }{\dfrac {\sigma }{n}}\sim N(0,1)$，因此选项C错误。
步骤 4：计算样本均值的方差
$D(\overline {X}-\mu )=D(\overline {X})=\dfrac {1}{n}{\sigma }^{2}$，因此选项D正确。
$E(\overline {X})=E(X)=\mu $，因此$E(\overline {X}-\mu )=E(\overline {X})-\mu =\mu -\mu =0$，选项A正确。
步骤 2：计算样本方差的期望值
$E(\dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}})=1$，因为$\dfrac {n-1}{{\sigma }^{2}}{S}^{2}\sim {\chi }^{2}(n-1)$，所以$E(\dfrac {n-1}{{\sigma }^{2}}{S}^{2})=n-1$，从而$E(\dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}})=1$，选项B正确。
步骤 3：计算样本均值的标准化分布
$\dfrac {\overline {X}-\mu }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\sim N(0,1)$，而不是$\dfrac {\overline {X}-\mu }{\dfrac {\sigma }{n}}\sim N(0,1)$，因此选项C错误。
步骤 4：计算样本均值的方差
$D(\overline {X}-\mu )=D(\overline {X})=\dfrac {1}{n}{\sigma }^{2}$，因此选项D正确。