设随机变量 X_1, X_2, ..., X_n, ... 相互独立，且 X_i 都服从参数 lambda 为 (1)/(2) 的指数分布，则当 n 充分大时，随机变量 Z_n = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i 的概率分布近似服从(）.A. N(2,4)B. N(2n,4n)C. N((1)/(2), (1)/(4n))D. N(2, (4)/(n))

本题考查知识点为独立同分布的中心极限定理。解题思路是先根据指数分布的性质求出随机变量$X_i$的期望和方差，再利用独立同分布的中心极限定理确定$Z_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$的近似概率分布。

步骤一：求$X_i$的期望和方差

已知$X_i$都服从参数$\lambda$为$\frac{1}{2}$的指数分布。
对于指数分布$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，$D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$，将$\lambda = \frac{1}{2}$代入可得：
$E(X_i)=\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
$D(X_i)=\frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 4$

步骤二：求$\sum_{i=1}^n X_i$的期望和方差

因为$X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$相互独立，根据期望和方差的性质：
若$X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立，则$E(\sum_{i=1}^n X_i)=\sum_{i=1}^n E(X_i)$，$D(\sum_{i=1}^n X_i)=\sum_{i=1}^n D(X_i)$。
所以$E(\sum_{i=1}^n X_i)=\sum_{i=1}^n E(X_i)=n\times2 = 2n$
$D(\sum_{i=1}^n X_i)=\sum_{i=1}^n D(X_i)=n\times4 = 4n$

步骤三：求$Z_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$的期望和方差

根据期望和方差的性质：
若$Y=aX+b$（$a,b$为常数），则$E(Y)=aE(X)+b$，$D(Y)=a^2D(X)$。
对于$Z_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，其中$a = \frac{1}{n}$，$b = 0$，可得：
$E(Z_n)=E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i)=\frac{1}{n}E(\sum_{i=1}^n X_i)=\frac{1}{n}\times2n = 2$
$D(Z_n)=D(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i)=(\frac{1}{n})^2D(\sum_{i=1}^n X_i)=\frac{1}{n^2}\times4n = \frac{4}{n}$

步骤四：根据中心极限定理确定$Z_n$的近似概率分布

由独立同分布的中心极限定理可知，当$n$充分大时，$\sum_{i=1}^n X_i$近似服从正态分布$N(2n, 4n)$，那么$Z_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$近似服从正态分布$N(2, \frac{4}{n})$。