若 X_1, X_2 是取自总体 X 的一个样本，DX = sigma^2，则以下估计量中最有效的是（）A. (3)/(5) X_1 + (2)/(5) X_2B. (1)/(3) X_1 + (2)/(3) X_2C. (1)/(2) X_1 + (1)/(2) X_2D. (1)/(4) X_1 + (3)/(4) X_2

考查要点：本题主要考查估计量的有效性判断，即在无偏估计量中选择方差最小的一个。关键在于理解方差的计算方法以及线性组合的方差公式。

解题核心思路：

1. 无偏性验证：确认所有选项的系数和为1，确保均为无偏估计量。
2. 方差计算：利用公式 $D(aX_1 + bX_2) = (a^2 + b^2)\sigma^2$，计算各选项的方差。
3. 比较方差：选择方差最小的选项作为最有效估计量。

破题关键点：

• 独立样本的方差性质：若 $X_1, X_2$ 独立，则 $D(aX_1 + bX_2) = a^2DX_1 + b^2DX_2$。
• 系数平方和：方差与系数的平方和成正比，系数分配越均衡，平方和越小。

选项方差计算

选项A：$\frac{3}{5}X_1 + \frac{2}{5}X_2$

$D\left(\frac{3}{5}X_1 + \frac{2}{5}X_2\right) = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2\right)\sigma^2 = \frac{13}{25}\sigma^2$

选项B：$\frac{1}{3}X_1 + \frac{2}{3}X_2$

$D\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{2}{3}X_2\right) = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2\right)\sigma^2 = \frac{5}{9}\sigma^2$

选项C：$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2$

$D\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2\right) = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right)\sigma^2 = \frac{1}{2}\sigma^2$

选项D：$\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2$

$D\left(\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2\right) = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2\right)\sigma^2 = \frac{5}{8}\sigma^2$

方差比较

$\frac{1}{2} < \frac{13}{25} < \frac{5}{9} < \frac{5}{8}$
最小方差为选项C，因此选项C是最有效估计量。