题目
若X与Y不相关,则下列说法错的是（ ）A)Cov(X,Y)=0(B)X与Y相互独立(C)D(X+Y) =DX+DY(D)D(X-Y) =DX+DY
若X与Y不相关,则下列说法错的是（ ）
A)Cov(X,Y)=0
(B)X与Y相互独立
(C)D(X+Y) =DX+DY
(D)D(X-Y) =DX+DY
题目解答
答案
∵X与Y不相关,
推不出X与Y独立，
∴
∵
∴
所以本题的答案为B。
解析
步骤 1：理解不相关与独立的关系
不相关是指两个随机变量X和Y之间的协方差为0，即Cov(X,Y)=0。这表明X和Y之间不存在线性关系。然而，不相关并不意味着X和Y相互独立。独立性是一个更强的条件，它要求X和Y的联合分布等于它们各自分布的乘积。
步骤 2：分析协方差
由于X与Y不相关，根据定义，Cov(X,Y)=0。因此，选项A是正确的。
步骤 3：分析方差
对于两个随机变量X和Y，如果它们不相关，那么它们的和或差的方差可以表示为：
D(X+Y) = DX + DY + 2Cov(X,Y)
D(X-Y) = DX + DY - 2Cov(X,Y)
由于Cov(X,Y)=0，所以：
D(X+Y) = DX + DY
D(X-Y) = DX + DY
因此，选项C和D也是正确的。
步骤 4：分析独立性
由于不相关并不意味着独立，所以选项B是错误的。
不相关是指两个随机变量X和Y之间的协方差为0，即Cov(X,Y)=0。这表明X和Y之间不存在线性关系。然而，不相关并不意味着X和Y相互独立。独立性是一个更强的条件，它要求X和Y的联合分布等于它们各自分布的乘积。
步骤 2：分析协方差
由于X与Y不相关，根据定义，Cov(X,Y)=0。因此，选项A是正确的。
步骤 3：分析方差
对于两个随机变量X和Y，如果它们不相关，那么它们的和或差的方差可以表示为：
D(X+Y) = DX + DY + 2Cov(X,Y)
D(X-Y) = DX + DY - 2Cov(X,Y)
由于Cov(X,Y)=0，所以：
D(X+Y) = DX + DY
D(X-Y) = DX + DY
因此，选项C和D也是正确的。
步骤 4：分析独立性
由于不相关并不意味着独立，所以选项B是错误的。