下列极限计算正确的是()。A. lim _(x arrow 0)(1+(1)/(x))^x=eB. lim _(x arrow infty) x sin (1)/(x)=1C. lim _(x arrow 0) x sin (1)/(x)=1D. lim _(x arrow infty) (sin x)/(x)=1

本题主要考查重要极限公式以及函数极限的计算，解题的关键在于熟悉常见极限公式，并能运用等价无穷小等方法对各选项进行分析。

选项A

重要极限公式为$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$，而此选项是$\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$。
当$x\to 0$时，$\frac{1}{x}\to\infty$，$1+\frac{1}{x}\to\infty$，此时$(1 + \frac{1}{x})^x$的极限并不等于$e$，所以选项A错误。

选项B

对于$\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}$，令$t = \frac{1}{x}$，当$x\to\infty$时，$t\to 0$。
则原式可转化为$\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t}$，根据重要极限公式$\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = 1$，所以$\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}=1$，选项B正确。

选项C

对于$\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}$，因为$\vert\sin\frac{1}{x}\vert\leqslant 1$，即$\sin\frac{1}{x}$是有界函数，而$\lim_{x \to 0}x = 0$。
根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得$\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=0\neq1$，所以选项C错误。

选项D

对于$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}$，因为$\vert\sin x\vert\leqslant 1$，即$\sin x$是有界函数，而$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} = 0$。
根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=0\neq1$，所以选项D错误。