汽车销售员估计她在下周将售出的汽车数量服从以下概率:汽车数量(X) 0 1 2 3 4 5-|||-概率P(x) 0.1 0.2 0.35 0.16 0.12 0.07(1)求售出的汽车数量的期望(2)求售出的汽车数量的方差

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的期望与方差的计算方法。

解题思路：

1. 期望的计算公式为：$\mathbb{E}(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$，即每个取值乘以其对应概率后求和。
2. 方差的计算公式为：$\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - [\mathbb{E}(X)]^2$，需先计算$\mathbb{E}(X^2)$（每个取值的平方乘概率求和），再用公式求方差。

关键点：

• 正确代入公式，避免漏乘概率或混淆平方项。
• 计算时注意精度，尤其是小数相乘和累加。

第（1）题：求期望

代入期望公式

根据公式$\mathbb{E}(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$，逐项计算：
$\begin{align*}0 \times 0.1 &= 0, \\1 \times 0.2 &= 0.2, \\2 \times 0.35 &= 0.7, \\3 \times 0.16 &= 0.48, \\4 \times 0.12 &= 0.48, \\5 \times 0.07 &= 0.35.\end{align*}$

求和

将上述结果相加：
$0 + 0.2 + 0.7 + 0.48 + 0.48 + 0.35 = 2.21.$

结论：期望为$\mathbb{E}(X) = 2.21$。

第（2）题：求方差

计算$\mathbb{E}(X^2)$

根据公式$\mathbb{E}(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$，逐项计算：
$\begin{align*}0^2 \times 0.1 &= 0, \\1^2 \times 0.2 &= 0.2, \\2^2 \times 0.35 &= 1.4, \\3^2 \times 0.16 &= 1.44, \\4^2 \times 0.12 &= 1.92, \\5^2 \times 0.07 &= 1.75.\end{align*}$

求和

将上述结果相加：
$0 + 0.2 + 1.4 + 1.44 + 1.92 + 1.75 = 6.71.$

代入方差公式

$\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - [\mathbb{E}(X)]^2 = 6.71 - (2.21)^2.$

计算平方项

$(2.21)^2 = 4.8841.$

最终方差

$\text{Var}(X) = 6.71 - 4.8841 = 1.8259.$

结论：方差为$\text{Var}(X) = 1.8259$。