对两个随机 变量 X 和 Y 计算他们的相关系数以及一元线性回归方程中的回归系数 b 以下说法正确的是（）A r 和 b 相等B r 与 b 无关 C r 与 b 符号相反 D 对 r 的假设检验与对 b 的假设检验等价

考查要点：本题主要考查相关系数$r$与回归系数$b$的关系，特别是假设检验的等价性。

核心思路：

1. 相关系数$r$与回归系数$b$的计算关系：$b = r \cdot \frac{s_y}{s_x}$（$s_y$、$s_x$为因变量和自变量的标准差）。
2. 假设检验的等价性：检验$r=0$（无线性相关）与检验$b=0$（无线性回归关系）本质上是同一假设，两者检验统计量的计算虽不同，但结果等价。

破题关键：

• 明确$r$和$b$的符号一致（由公式决定）。
• 理解假设检验中，两者检验的实质相同，可相互替代。

选项分析

选项A：$r$和$b$相等

• 错误。$r$是标准化指标（取值范围$[-1,1]$），而$b$的单位与变量相关（如“因变量/自变量单位”），两者数值通常不同。

选项B：$r$与$b$无关

• 错误。$b$的计算公式中明确包含$r$，即$b = r \cdot \frac{s_y}{s_x}$，因此$b$与$r$直接相关。

选项C：$r$与$b$符号相反

• 错误。由公式$b = r \cdot \frac{s_y}{s_x}$可知，$s_y$和$s_x$均为标准差（非负），因此$b$的符号与$r$一致。

选项D：对$r$的假设检验与对$b$的假设检验等价

• 正确。
  • 检验实质相同：$H_0: \rho=0$（无线性相关）与$H_0: \beta=0$（无线性回归关系）等价。
  • 统计量关系：$t$检验中，$t_r = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}$，而$t_b = \frac{b}{\text{SE}_b}$，两者计算虽不同，但$p$值相同。