题目
若矩阵可逆，则以下选项中正确的是（ ）ABCD
若矩阵
可逆，则以下选项中正确的是（ ）
A
B
C
D
题目解答
答案
由矩阵可逆，则由可逆矩阵运算的法则可得：
，。其次，矩阵伴随的行列式是
，由此可得
。
。故选项中正确的是B。
解析
本题考查可逆矩阵的性质及其相关运算，涉及伴随矩阵、行列式、转置矩阵等概念。解题核心在于：
- 标量乘法的逆矩阵：$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$（$k \neq 0$）；
- 逆矩阵的行列式：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$；
- 伴随矩阵与逆矩阵的关系：$A^{*} = |A|A^{-1}$；
- 转置矩阵的行列式：$|A'| = |A|$。
选项A：$(\mu A)^{-1} = \mu A^{-1}$
- 错误。根据标量乘法的逆矩阵公式，正确形式为：
$(\mu A)^{-1} = \frac{1}{\mu} A^{-1} \quad (\mu \neq 0)$
选项中缺少分母$\mu$，因此不成立。
选项B：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$
- 正确。行列式的性质表明：
$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$
因此选项B成立。
选项C：$(A^{*})^{-1} = \frac{|A|}{A}$
- 错误。由伴随矩阵与逆矩阵的关系$A^{*} = |A|A^{-1}$，可得：
$(A^{*})^{-1} = (|A|A^{-1})^{-1} = \frac{1}{|A|}A$
但选项中为$\frac{|A|}{A}$，分子分母颠倒，因此不成立。
选项D：$|A'| = |A|^{n}$
- 错误。转置矩阵的行列式性质为：
$|A'| = |A|$
选项中错误地写成$|A|^{n}$，因此不成立。