题目

4.设总体X与Y独立且都服从正态分布N(0,σ²)，已知X_(1),X_(2),...,X_(m)与Y_(1),Y_(2),...,Y_(n)是分别取自总体X与Y的简单随机样本，统计量T=(2(X_(1)+X_(2)+...+X_(m)))/(sqrt(Y_(1)^2)+Y_{2^2+...+Y_{n)^2}}服从t(n)分布，求(m)/(n).

4.设总体X与Y独立且都服从正态分布N(0,σ²)，已知$X_{1},X_{2},\cdots,X_{m}$与$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{n}$是分别取自总体X与Y的简单随机样本，统计量$T=\frac{2(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{m})}{\sqrt{Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+\cdots+Y_{n}^{2}}}$服从t(n)分布，求$\frac{m}{n}$.

题目解答

答案

设 $U = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_m}{\sqrt{m}\sigma}$，则 $U \sim N(0, 1)$。 设 $V = \frac{Y_1^2 + Y_2^2 + \cdots + Y_n^2}{\sigma^2}$，则 $V \sim \chi^2(n)$。 由 $t$ 分布定义，$\frac{U}{\sqrt{V/n}} \sim t(n)$，即 $\frac{\frac{X_1 + \cdots + X_m}{\sqrt{m}\sigma}}{\sqrt{\frac{Y_1^2 + \cdots + Y_n^2}{n\sigma^2}}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}} \cdot \frac{X_1 + \cdots + X_m}{\sqrt{Y_1^2 + \cdots + Y_n^2}} \sim t(n).$ 已知 $T = \frac{2(X_1 + \cdots + X_m)}{\sqrt{Y_1^2 + \cdots + Y_n^2}} \sim t(n)$，故 $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}} = 2 \implies \frac{n}{m} = 4 \implies \frac{m}{n} = \frac{1}{4}.$ 答案： $\boxed{\frac{1}{4}}$

解析

本题考查正态分布、$\chi^2$分布以及$t$分布的性质和定义，解题的关键在于将给定的统计量$T$转化为符合$t$分布定义的形式，然后通过对比系数来求解$\frac{m}{n}$的值。

  1. 构造标准正态分布变量：
    • 已知总体$X\sim N(0,\sigma^{2})$，且$X_{1},X_{2},\cdots,X_{m}$是取自总体$X$的简单随机样本。
    • 根据正态分布的性质：若$X_i\sim N(0,\sigma^{2})$，$i = 1,2,\cdots,m$，且相互独立，则$\sum_{i = 1}^{m}X_{i}\sim N(0,m\sigma^{2})$。
    • 对$\sum_{i = 1}^{m}X_{i}$进行标准化处理，设$U = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_m}{\sqrt{m}\sigma}$，根据正态分布标准化公式$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$（其中$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$），可得$U\sim N(0, 1)$。
  2. 构造$\chi^2$分布变量：
    • 已知总体$Y\sim N(0,\sigma^{2})$，且$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{n}$是取自总体$Y$的简单随机样本。
    • 因为$Y_i\sim N(0,\sigma^{2})$，则$\frac{Y_i}{\sigma}\sim N(0, 1)$，$i = 1,2,\cdots,n$。
    • 根据$\chi^2$分布的定义：若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$相互独立且都服从标准正态分布$N(0, 1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}Z_{i}^{2}\sim \chi^2(n)$。
    • 所以设$V = \frac{Y_1^2 + Y_2^2 + \cdots + Y_n^2}{\sigma^2}=\sum_{i = 1}^{n}(\frac{Y_i}{\sigma})^2$，可得$V\sim \chi^2(n)$。
  3. 根据$t$分布定义进行转化：
    • $t$分布的定义为：若$U\sim N(0, 1)$，$V\sim \chi^2(n)$，且$U$与$V$相互独立，则$\frac{U}{\sqrt{V/n}}\sim t(n)$。
    • 将$U = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_m}{\sqrt{m}\sigma}$和$V = \frac{Y_1^2 + Y_2^2 + \cdots + Y_n^2}{\sigma^2}$代入$t$分布定义式中，可得：
      $\begin{align*}\frac{U}{\sqrt{V/n}}&=\frac{\frac{X_1 + \cdots + X_m}{\sqrt{m}\sigma}}{\sqrt{\frac{Y_1^2 + \cdots + Y_n^2}{n\sigma^2}}}\\&=\frac{X_1 + \cdots + X_m}{\sqrt{m}\sigma}\cdot\frac{\sqrt{n\sigma^2}}{\sqrt{Y_1^2 + \cdots + Y_n^2}}\\&=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}\cdot\frac{X_1 + \cdots + X_m}{\sqrt{Y_1^2 + \cdots + Y_n^2}}\end{align*}$
    • 所以$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}\cdot\frac{X_1 + \cdots + X_m}{\sqrt{Y_1^2 + \cdots + Y_n^2}}\sim t(n)$。
  4. 对比系数求解$\frac{m}{n}$：
    • 已知$T = \frac{2(X_1 + \cdots + X_m)}{\sqrt{Y_1^2 + \cdots + Y_n^2}}\sim t(n)$，又因为$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}\cdot\frac{X_1 + \cdots + X_m}{\sqrt{Y_1^2 + \cdots + Y_n^2}}\sim t(n)$。
    • 所以可得$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}} = 2$。
    • 两边同时平方可得$\frac{n}{m}=4$。
    • 则$\frac{m}{n}=\frac{1}{4}$。