9.已知某商场一天来的顾客数X服从参数为λ的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概率-|||-为p,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为λp的泊松分布.

考查要点：本题主要考查泊松分布的性质、全概率公式的应用，以及二项分布与泊松分布的组合关系。

解题核心思路：

1. 条件概率分析：在已知总顾客数$X=i$的条件下，购物顾客数$Y$服从二项分布$B(i,p)$。
2. 全概率公式：通过全概率公式，将$Y=k$的概率表示为对所有可能的$X=i$的求和。
3. 求和化简：通过代数变形和指数函数的展开，将求和式转化为新的泊松分布形式。

破题关键点：

• 正确写出条件概率$P(Y=k|X=i)$的表达式。
• 识别求和式中的指数级数结构，利用$\sum_{j=0}^\infty \frac{(\lambda(1-p))^j}{j!} = e^{\lambda(1-p)}$完成化简。

设$Y$表示商场一天内购物的顾客数。根据题意，$X \sim \text{Poisson}(\lambda)$，且在$X=i$的条件下，$Y$服从二项分布$B(i,p)$。根据全概率公式，对任意非负整数$k$，有：

$P(Y=k) = \sum_{i=k}^\infty P(X=i) \cdot P(Y=k|X=i)$

步骤分解：

1. 代入泊松分布和二项分布的概率表达式

$\begin{aligned}P(Y=k) &= \sum_{i=k}^\infty \frac{\lambda^i}{i!} e^{-\lambda} \cdot \binom{i}{k} p^k (1-p)^{i-k} \\&= \sum_{i=k}^\infty \frac{\lambda^i}{i!} e^{-\lambda} \cdot \frac{i!}{k!(i-k)!} p^k (1-p)^{i-k}\end{aligned}$

2. 化简组合数与阶乘项

$\begin{aligned}P(Y=k) &= \frac{p^k e^{-\lambda}}{k!} \sum_{i=k}^\infty \frac{\lambda^i}{(i-k)!} (1-p)^{i-k} \\&= \frac{(\lambda p)^k e^{-\lambda}}{k!} \sum_{j=0}^\infty \frac{(\lambda (1-p))^j}{j!} \quad \text{（令$j = i - k$）}\end{aligned}$

3. 利用指数函数展开式求和

$\sum_{j=0}^\infty \frac{(\lambda (1-p))^j}{j!} = e^{\lambda (1-p)}$

4. 合并指数项并整理

$P(Y=k) = \frac{(\lambda p)^k}{k!} e^{-\lambda p}$

结论：$Y$服从参数为$\lambda p$的泊松分布。