题目

9.已知某商场一天来的顾客数X服从参数为λ的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概率-|||-为p,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为λp的泊松分布.

9. $\begin{aligned}\text{ 已知某商场一天来的顾客数 }X\text{ 服从参数为}\lambda\text{ 的泊松分布 },\text{而每个来到商场的顾客购物的概率}\\\text{为 }p,\text{证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为 }\lambda p\text{ 的泊松分布}.\end{aligned}$

题目解答

答案

解答如下：

$\begin{aligned}\text{证}&\text{ 用 }Y\text{表示商场一天内购物的顾客数},\text{则由全概率公式知,对任意正整数 }k\text{ 有}\\P(Y=k)&=\sum_{i=k}^{\infty}P(X=i)P(Y=k|X=i)=\sum_{i=k}^{\infty}\frac{\lambda^i\mathrm{e}^{-\lambda}}{i!}\binom ikp^k(1-p)^{-i}\\&=\frac{(\lambda p)^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{i=k}^{\infty}\frac{\left[\lambda(1-p)\right]^{i-k}}{(i-k)!}=\frac{(\lambda p)^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}\mathrm{e}^{\lambda (1-\rho)}=\frac{(\lambda p)^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda \rho}.\\&\text{这表明}:Y\text{服从参数为 }\lambda p\text{ 的泊松分布}.\end{aligned}$

解析

步骤 1：定义随机变量
设随机变量X表示一天内来到商场的顾客数，X服从参数为λ的泊松分布，即P(X=i) = (λ^i * e^(-λ)) / i!，其中i为非负整数。
步骤 2：定义条件概率
设随机变量Y表示一天内购物的顾客数，对于任意正整数k，Y=k表示一天内有k个顾客购物。对于给定的X=i，Y=k的条件概率为P(Y=k|X=i) = C(i, k) * p^k * (1-p)^(i-k)，其中C(i, k)表示从i个顾客中选择k个顾客的组合数。
步骤 3：计算Y=k的概率
根据全概率公式，Y=k的概率为P(Y=k) = Σ P(X=i) * P(Y=k|X=i)，其中i从k到无穷大。将P(X=i)和P(Y=k|X=i)代入，得到P(Y=k) = Σ (λ^i * e^(-λ) / i!) * C(i, k) * p^k * (1-p)^(i-k)。
步骤 4：化简概率表达式
将组合数C(i, k) = i! / (k! * (i-k)!)代入，得到P(Y=k) = Σ (λ^i * e^(-λ) / (k! * (i-k)!)) * p^k * (1-p)^(i-k)。将λ^i分解为λ^k * λ^(i-k)，得到P(Y=k) = (λ^k * p^k / k!) * Σ (λ^(i-k) * e^(-λ) / (i-k)!) * (1-p)^(i-k)。将λ^(i-k) * e^(-λ) / (i-k)!代入泊松分布的概率公式，得到P(Y=k) = (λ^k * p^k / k!) * e^(-λp)。
步骤 5：验证结果
根据泊松分布的概率公式，P(Y=k) = (λp)^k * e^(-λp) / k!，其中λp为参数。因此，Y服从参数为λp的泊松分布。