题目

(1)设有下列样本值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512求overline(x)和s^2.

(1)设有下列样本值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512求$\overline{x}$和$s^{2}$.

题目解答

答案

1. **计算样本均值 $\overline{x}$**：将所有样本值相加得 $4.580$，除以样本数量 $9$，得 \[ \overline{x} = \frac{4.580}{9} \approx 0.5089 \] 2. **计算样本方差 $s^2$**：使用公式 $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \overline{x})^2$，先计算每个样本值与均值的差的平方，再求和并除以 $n-1$。或使用公式 $s^2 = \frac{1}{n-1} \left[ \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n} \right]$，计算得 \[ s^2 \approx 0.000118 \] **答案**： \[ \boxed{ \begin{array}{ll} \overline{x} & = 0.5089 \\ s^2 & = 0.000118 \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查样本均值和样本方差的计算方法，需要掌握数据的加权平均以及离差平方和的处理。

解题核心思路：

均值计算：将所有样本值相加后除以样本数量。
方差计算：采用简化公式 $s^2 = \frac{1}{n-1}\left( \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n} \right)$，避免逐项计算离差平方的繁琐过程。

破题关键点：

准确求和：确保样本值求和无误。
公式选择：优先使用简化公式计算方差，减少中间步骤的误差。

1. 计算样本均值 $\overline{x}$

将所有样本值相加：
$\sum x_i = 0.497 + 0.506 + 0.518 + 0.524 + 0.488 + 0.510 + 0.510 + 0.515 + 0.512 = 4.580$
样本数量 $n = 9$，因此：
$\overline{x} = \frac{4.580}{9} \approx 0.5089$

2. 计算样本方差 $s^2$

使用公式 $s^2 = \frac{1}{n-1}\left( \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n} \right)$：

计算 $\sum x_i^2$：
$\begin{aligned} \sum x_i^2 &= 0.497^2 + 0.506^2 + 0.518^2 + 0.524^2 + 0.488^2 \\ &\quad + 0.510^2 + 0.510^2 + 0.515^2 + 0.512^2 \\ &= 0.247009 + 0.256036 + 0.268324 + 0.274576 + 0.238144 \\ &\quad + 0.2601 + 0.2601 + 0.265225 + 0.262144 \\ &= 2.331658 \end{aligned}$
代入公式：
$s^2 = \frac{1}{8} \left( 2.331658 - \frac{4.580^2}{9} \right) = \frac{1}{8} \left( 2.331658 - 2.330711 \right) \approx \frac{0.000947}{8} \approx 0.000118$