题目
设随机变量 X 与 Y 的方差分别为： D(X)=16 ， D(Y)=25 ， X 与 Y 的相关系数为 0.5 , 则 D(X-Y)= ___________
设随机变量 $ X $ 与 $ Y $ 的方差分别为： $ D(X)=16 ， D(Y)=25 ， X $ 与 $ Y $ 的相关系数为 $ 0.5 $, 则 $ D(X-Y)= $___________
题目解答
答案
21
解析
步骤 1：计算协方差
根据相关系数的定义，相关系数 $\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，其中 $Cov(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。已知 $D(X)=16$，$D(Y)=25$，$\rho_{XY}=0.5$，代入公式得：
$$
0.5 = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{16 \times 25}} = \frac{Cov(X,Y)}{20}
$$
解得 $Cov(X,Y) = 10$。
步骤 2：计算 $D(X-Y)$
根据方差的性质，$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)$。代入已知的方差和协方差值，得：
$$
D(X-Y) = 16 + 25 - 2 \times 10 = 41 - 20 = 21
$$
根据相关系数的定义，相关系数 $\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，其中 $Cov(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。已知 $D(X)=16$，$D(Y)=25$，$\rho_{XY}=0.5$，代入公式得：
$$
0.5 = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{16 \times 25}} = \frac{Cov(X,Y)}{20}
$$
解得 $Cov(X,Y) = 10$。
步骤 2：计算 $D(X-Y)$
根据方差的性质，$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)$。代入已知的方差和协方差值，得：
$$
D(X-Y) = 16 + 25 - 2 \times 10 = 41 - 20 = 21
$$