题目

设 A, B, C 为三个事件，试用 A, B, C 的运算关系表示下列事件：(1) A 发生，B 与 C 不发生；(2) A, B, C 都不发生；(3) A, B, C 不都发生；(4) A, B, C 中至少有一个发生；(5) A, B, C 中至少有两个发生。

设 $A, B, C$ 为三个事件，试用 $A, B, C$ 的运算关系表示下列事件： (1) $A$ 发生，$B$ 与 $C$ 不发生； (2) $A, B, C$ 都不发生； (3) $A, B, C$ 不都发生； (4) $A, B, C$ 中至少有一个发生； (5) $A, B, C$ 中至少有两个发生。

题目解答

答案

我们设 $ A, B, C $ 为三个事件，使用集合的运算关系（如交、并、补、差等）来表示下列事件。记事件的补集为：$ A^c $ 表示 $ A $ 不发生，同理 $ B^c, C^c $。

(1) $ A $ 发生，$ B $ 与 $ C $ 不发生

  • 要求：$ A $ 发生，即 $ A $ 出现；
  • $ B $ 不发生，即 $ B^c $；
  • $ C $ 不发生，即 $ C^c $；
  • 三者同时发生，因此用交集表示。

所以该事件为：
$A \cap B^c \cap C^c$

(2) $ A, B, C $ 都不发生

  • 即 $ A $ 不发生，$ B $ 不发生，$ C $ 也不发生；
  • 也就是三者补集的交集。

所以该事件为：
$A^c \cap B^c \cap C^c$

(3) $ A, B, C $ 不都发生

  • “不都发生”表示：不是三者都发生，即至少有一个不发生；
  • 三者都发生是 $ A \cap B \cap C $；
  • 所以“不都发生”是该事件的补集。

因此该事件为：
$(A \cap B \cap C)^c$

（也可理解为：至少有一个事件不发生）

(4) $ A, B, C $ 中至少有一个发生

  • “至少有一个发生”即 $ A $、$ B $、$ C $ 中有一个或多个发生；
  • 这正是三个事件的并集。

所以该事件为：
$A \cup B \cup C$

(5) $ A, B, C $ 中至少有两个发生

  • 要求：发生事件的个数 ≥ 2；
  • 即以下情况的并集：
    • $ A $ 和 $ B $ 发生，$ C $ 可发生可不发生（但至少两个）→ 实际上要明确组合；
    • 更准确的是枚举恰好两个发生和三个都发生的情况。

具体组合有：

  1. $ A $ 和 $ B $ 发生，$ C $ 不一定 → 但要保证至少两个，我们枚举两两交集，并包含三者都发生的情况。

更清晰的方法是列出所有“至少两个发生”的情况：

  • $ A $ 与 $ B $ 发生（不管 $ C $）→ 但这样会包含 $ C $ 不发生的情况，但我们需要确保至少两个，所以应考虑：
    • $ A \cap B $：此时无论 $ C $ 是否发生，$ A $ 和 $ B $ 已发生，满足“至少两个”；
    • 同理 $ A \cap C $；
    • $ B \cap C $。

但注意：如果直接取 $ (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C) $，是否包含了所有“至少两个发生”的情况？

是的！因为：

  • 若恰好两个发生，比如 $ A $ 和 $ B $ 发生，$ C $ 不发生，则属于 $ A \cap B $；
  • 若三个都发生，则 $ A \cap B $、$ A \cap C $、$ B \cap C $ 都包含该情况。

因此，该事件为：
$(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$

最终答案：

(1) $ A \cap B^c \cap C^c $
(2) $ A^c \cap B^c \cap C^c $
(3) $ (A \cap B \cap C)^c $
(4) $ A \cup B \cup C $
(5) $ (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C) $

$\boxed{ \begin{aligned}& (1)\quad A \cap B^c \cap C^c \\& (2)\quad A^c \cap B^c \cap C^c \\& (3)\quad (A \cap B \cap C)^c \\& (4)\quad A \cup B \cup C \\& (5)\quad (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)\end{aligned} }$

解析

考查要点：本题主要考查事件的集合运算关系，包括交集、并集、补集的组合应用，以及如何将自然语言描述的事件转化为集合运算表达式。

解题核心思路：

  1. 明确事件的逻辑关系：将题目中的“发生”“不发生”“至少”“都不”等关键词转化为集合运算。
  2. 补集思想：当直接描述事件复杂时，可考虑其补集的对立事件（如“不都发生”可转化为“至少一个不发生”）。
  3. 枚举组合：对于“至少两个发生”等涉及多个条件的情况，需枚举所有满足条件的组合并取并集。

第（1）题

要求：$A$ 发生，$B$ 和 $C$ 不发生。
关键点：

  • $A$ 发生对应集合 $A$，$B$ 不发生对应补集 $B^c$，$C$ 不发生对应补集 $C^c$。
  • 同时满足三个条件，需用交集运算。
    表达式：
    $A \cap B^c \cap C^c$

第（2）题

要求：$A, B, C$ 都不发生。
关键点：

  • 三个事件均不发生，即各自补集的交集。
    表达式：
    $A^c \cap B^c \cap C^c$

第（3）题

要求：$A, B, C$ 不都发生。
关键点：

  • “不都发生”等价于“至少一个不发生”，可直接对“三者都发生”取补集。
  • 三者都发生为 $A \cap B \cap C$，其补集即为所求。
    表达式：
    $(A \cap B \cap C)^c$

第（4）题

要求：$A, B, C$ 中至少有一个发生。
关键点：

  • “至少一个发生”即三个事件的并集。
    表达式：
    $A \cup B \cup C$

第（5）题

要求：$A, B, C$ 中至少有两个发生。
关键点：

  • 枚举所有满足条件的组合：
    1. 恰好两个发生（如 $A \cap B$，$A \cap C$，$B \cap C$）。
    2. 三个都发生（自动包含在上述组合中）。
  • 取并集覆盖所有情况。
    表达式：
    $(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$