二、简答题(共2题,15.0分)题型说明:请写出详细解答过程,并拍照上传,注意上传后图片的清晰度。22.(简答题,5.0分)每次选拔赛共有900名考生参加,结果有540名考生进入第一轮面试,假设考试成绩服从正态分布,满分为100分,90分以上有20人,60分以下有135人,试估计本次选拔赛录取的最低分.
题目解答
答案
解析
考查要点:本题主要考查正态分布的应用,涉及利用已知数据点估计均值和标准差,并计算特定百分位数。
解题核心思路:
- 确定录取比例:540/900=60%,即录取最低分对应正态分布的第60百分位数。
- 建立方程:利用90分以上(2.22%)和60分以下(15%)的比例,结合标准正态分布表,建立关于均值$\mu$和标准差$\sigma$的方程。
- 求解参数:解方程组得到$\mu$和$\sigma$,再通过标准正态分布表找到第60百分位数对应的分数。
破题关键点:
- 正确使用标准正态分布表:根据比例查找对应的z值。
- 代数运算的准确性:确保方程求解过程无误。
步骤1:确定录取比例
录取人数为540,总人数为900,录取比例为:
$\frac{540}{900} = 0.6$
因此,录取最低分对应正态分布的第60百分位数。
步骤2:建立方程求解$\mu$和$\sigma$
-
90分以上比例:
90分以上有20人,占总人数的$\frac{20}{900} \approx 0.0222$,对应右侧概率为0.0222。查标准正态分布表,左侧概率为$1 - 0.0222 = 0.9778$,对应z值约为$2.00$。因此:
$\frac{90 - \mu}{\sigma} = 2.00 \quad \text{(1)}$ -
60分以下比例:
60分以下有135人,占总人数的$\frac{135}{900} = 0.15$,对应左侧概率为0.15。查标准正态分布表,对应z值约为$-1.04$。因此:
$\frac{60 - \mu}{\sigma} = -1.04 \quad \text{(2)}$
步骤3:解方程组
-
从方程(2)解出$\mu$:
$\mu = 60 + 1.04\sigma$ -
将$\mu$代入方程(1):
$90 - (60 + 1.04\sigma) = 2.00\sigma \\ 30 = 3.04\sigma \\ \sigma \approx \frac{30}{3.04} \approx 9.87$ -
代入$\sigma$求$\mu$:
$\mu \approx 60 + 1.04 \times 9.87 \approx 70.26$
步骤4:计算第60百分位数
查标准正态分布表,第60百分位数对应的z值约为$0.25$。因此:
$x = \mu + z\sigma = 70.26 + 0.25 \times 9.87 \approx 72.73$
四舍五入得录取最低分为$73$分。