已知 f(x) 是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式 f(1+sin x)-3f(1-sin x)=8x+o(x)，且 f(x) 在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x) 在点 (6, f(6)) 处的切线方程。

我们来逐步分析并解决这道题：

题目信息总结：

• 函数 $ f(x) $ 是周期为 5 的连续函数。
• 在 $ x = 0 $ 的某个邻域内满足关系式：
  $f(1 + \sin x) - 3f(1 - \sin x) = 8x + o(x)$
• 函数在 $ x = 1 $ 处可导。
• 要求曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (6, f(6)) $ 处的切线方程。

第一步：利用周期性简化问题

由于 $ f(x) $ 是周期为 5 的函数，即：
$f(x + 5) = f(x)$
所以：
$f(6) = f(1), \quad f'(6) = f'(1)$
（周期函数的导数也是周期函数，所以导数也具有相同的周期）

因此，我们只需要求出 $ f(1) $ 和 $ f'(1) $，就可以写出在 $ (6, f(6)) $ 处的切线方程。

第二步：分析给定的关系式

已知：
$f(1 + \sin x) - 3f(1 - \sin x) = 8x + o(x)$
我们希望利用这个关系式来求出 $ f(1) $ 和 $ f'(1) $。

1. 在 $ x \to 0 $ 时，$ \sin x \approx x $

所以：
$f(1 + \sin x) \approx f(1 + x), \quad f(1 - \sin x) \approx f(1 - x)$

所以原式变为：
$f(1 + x) - 3f(1 - x) = 8x + o(x)$

我们把这个式子记为：
$f(1 + x) - 3f(1 - x) = 8x + o(x) \quad \text{(1)}$

第三步：令 $ x = 0 $，求 $ f(1) $

将 $ x = 0 $ 代入式 (1)：
$f(1 + 0) - 3f(1 - 0) = 0 + o(0) \Rightarrow f(1) - 3f(1) = 0 \Rightarrow -2f(1) = 0 \Rightarrow f(1) = 0$

第四步：对式 (1) 求导，求 $ f'(1) $

我们对式 (1) 两边关于 $ x $ 求导：

左边：
$\frac{d}{dx} [f(1 + x) - 3f(1 - x)] = f'(1 + x) \cdot 1 - 3f'(1 - x) \cdot (-1) = f'(1 + x) + 3f'(1 - x)$

右边：
$\frac{d}{dx} [8x + o(x)] = 8 + o'(x)$

所以：
$f'(1 + x) + 3f'(1 - x) = 8 + o'(x)$

令 $ x \to 0 $，得到：
$f'(1) + 3f'(1) = 8 \Rightarrow 4f'(1) = 8 \Rightarrow f'(1) = 2$

第五步：写出切线方程

我们已经知道：

• $ f(6) = f(1) = 0 $
• $ f'(6) = f'(1) = 2 $

所以，曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (6, 0) $ 处的切线方程为：
$y - 0 = 2(x - 6) \Rightarrow y = 2x - 12$

最终答案：

$\boxed{y = 2x - 12}$

这是曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (6, f(6)) $ 处的切线方程。