题目

6.在总体X中抽取一个样本X_(1),X_(2),X_(3)，则下列统计量为总体均值μ的无偏估计量的是（）. A.hat(mu)_(1)=(X_(1))/(1)+(X_(2))/(2)+(X_(3))/(3) B.hat(mu)_(2)=(X_(1))/(2)+(X_(2))/(2)+(X_(3))/(2) C.hat(mu)_(3)=(X_(1))/(3)+(X_(2))/(3)+(X_(3))/(3) D.hat(mu)_(4)=(X_(1))/(4)+(X_(2))/(4)+(X_(3))/(4)

6.在总体X中抽取一个样本$X_{1},X_{2},X_{3}$，则下列统计量为总体均值μ的无偏估计量的是（）.
A.$\hat{\mu}_{1}=\frac{X_{1}}{1}+\frac{X_{2}}{2}+\frac{X_{3}}{3}$
B.$\hat{\mu}_{2}=\frac{X_{1}}{2}+\frac{X_{2}}{2}+\frac{X_{3}}{2}$
C.$\hat{\mu}_{3}=\frac{X_{1}}{3}+\frac{X_{2}}{3}+\frac{X_{3}}{3}$
D.$\hat{\mu}_{4}=\frac{X_{1}}{4}+\frac{X_{2}}{4}+\frac{X_{3}}{4}$

题目解答

答案

为了确定哪个统计量是总体均值$\mu$的无偏估计量，我们需要检查每个统计量的期望值是否等于$\mu$。让我们逐步分析每个选项。 ### 选项A: $\hat{\mu}_1 = \frac{X_1}{1} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{3}$ 首先，我们计算$\hat{\mu}_1$的期望值： \[ E(\hat{\mu}_1) = E\left(\frac{X_1}{1} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{3}\right) = E(X_1) + \frac{E(X_2)}{2} + \frac{E(X_3)}{3} \] 由于$X_1, X_2, X_3$是来自总体$X$的样本，它们的期望值都是$\mu$。因此， \[ E(\hat{\mu}_1) = \mu + \frac{\mu}{2} + \frac{\mu}{3} = \mu \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = \mu \left(\frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6}\right) = \mu \left(\frac{11}{6}\right) = \frac{11\mu}{6} \] 由于$\frac{11\mu}{6} \neq \mu$，$\hat{\mu}_1$不是$\mu$的无偏估计量。 ### 选项B: $\hat{\mu}_2 = \frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{2}$ 接下来，我们计算$\hat{\mu}_2$的期望值： \[ E(\hat{\mu}_2) = E\left(\frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{2}\right) = \frac{E(X_1)}{2} + \frac{E(X_2)}{2} + \frac{E(X_3)}{2} \] 再次，由于$E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \mu$， \[ E(\hat{\mu}_2) = \frac{\mu}{2} + \frac{\mu}{2} + \frac{\mu}{2} = \mu \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) = \mu \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3\mu}{2} \] 由于$\frac{3\mu}{2} \neq \mu$，$\hat{\mu}_2$不是$\mu$的无偏估计量。 ### 选项C: $\hat{\mu}_3 = \frac{X_1}{3} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_3}{3}$ 接下来，我们计算$\hat{\mu}_3$的期望值： \[ E(\hat{\mu}_3) = E\left(\frac{X_1}{3} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_3}{3}\right) = \frac{E(X_1)}{3} + \frac{E(X_2)}{3} + \frac{E(X_3)}{3} \] 由于$E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \mu$， \[ E(\hat{\mu}_3) = \frac{\mu}{3} + \frac{\mu}{3} + \frac{\mu}{3} = \mu \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) = \mu \left(1\right) = \mu \] 由于$E(\hat{\mu}_3) = \mu$，$\hat{\mu}_3$是$\mu$的无偏估计量。 ### 选项D: $\hat{\mu}_4 = \frac{X_1}{4} + \frac{X_2}{4} + \frac{X_3}{4}$ 最后，我们计算$\hat{\mu}_4$的期望值： \[ E(\hat{\mu}_4) = E\left(\frac{X_1}{4} + \frac{X_2}{4} + \frac{X_3}{4}\right) = \frac{E(X_1)}{4} + \frac{E(X_2)}{4} + \frac{E(X_3)}{4} \] 由于$E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \mu$， \[ E(\hat{\mu}_4) = \frac{\mu}{4} + \frac{\mu}{4} + \frac{\mu}{4} = \mu \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) = \mu \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{3\mu}{4} \] 由于$\frac{3\mu}{4} \neq \mu$，$\hat{\mu}_4$不是$\mu$的无偏估计量。 因此，正确答案是$\boxed{C}$。

解析

无偏估计量的判断核心在于验证统计量的期望是否等于总体参数。本题中，需计算每个选项的期望值，判断其是否等于总体均值$\mu$。关键点在于：

  1. 样本$X_1, X_2, X_3$的期望均为$\mu$；
  2. 统计量的线性组合的期望等于各部分期望的线性组合；
  3. 系数之和为1是无偏性的必要条件。

选项分析

选项A：$\hat{\mu}_1 = \frac{X_1}{1} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{3}$

  • 期望计算：
    $E(\hat{\mu}_1) = E(X_1) + \frac{E(X_2)}{2} + \frac{E(X_3)}{3} = \mu + \frac{\mu}{2} + \frac{\mu}{3} = \frac{11\mu}{6}$
  • 结论：$\frac{11\mu}{6} \neq \mu$，非无偏估计量。

选项B：$\hat{\mu}_2 = \frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{2}$

  • 期望计算：
    $E(\hat{\mu}_2) = \frac{\mu}{2} + \frac{\mu}{2} + \frac{\mu}{2} = \frac{3\mu}{2}$
  • 结论：$\frac{3\mu}{2} \neq \mu$，非无偏估计量。

选项C：$\hat{\mu}_3 = \frac{X_1}{3} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_3}{3}$

  • 期望计算：
    $E(\hat{\mu}_3) = \frac{\mu}{3} + \frac{\mu}{3} + \frac{\mu}{3} = \mu$
  • 结论：$E(\hat{\mu}_3) = \mu$，是无偏估计量。

选项D：$\hat{\mu}_4 = \frac{X_1}{4} + \frac{X_2}{4} + \frac{X_3}{4}$

  • 期望计算：
    $E(\hat{\mu}_4) = \frac{\mu}{4} + \frac{\mu}{4} + \frac{\mu}{4} = \frac{3\mu}{4}$
  • 结论：$\frac{3\mu}{4} \neq \mu$，非无偏估计量。