已知alpha_1=(1,4,0,2)^T，alpha_2=(2,7,1,3)^T，alpha_3=(0,1,-1,a)^T，beta=(3,10,b,4)^T，则下列说法正确的有（）A 当bneq2时，beta不能由alpha_1,alpha_2,alpha_3线性表示B 当a=1且b=2时，beta可以由alpha_1,alpha_2,alpha_3线性表示，且表达式不唯一C 当a=1且b=2时，R(alpha_1,alpha_2,alpha_3)=R(alpha_1,alpha_2,alpha_3,beta)=1D 当a不等于1且b=2时，beta可以由alpha_1,alpha_2,alpha_3唯一线性表示
题目解答
答案
为了确定哪些说法是正确的，我们需要分析向量$\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $\vec{a_3}$和$\vec{b}$之间的线性关系。具体来说，我们需要检查$\vec{b}$是否可以表示为$\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$,和$\vec{a_3}$的线性组合，以及在什么条件下这种表示是唯一的。 首先，我们形成增广矩阵$[\vec{a_1} \vec{a_2} \vec{a_3} \vec{b}]$： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 4 & 7 & 1 & 10 \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 2 & 3 & a & 4 \end{pmatrix}$ 我们将对这个矩阵进行行简化，以确定秩和线性关系。 1. 行简化矩阵： 从第一行开始，从第二行减去4倍的第一行，从第四行减去2倍的第一行： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 0 & -1 & a & -2 \end{pmatrix}$ 接下来，将第二行加到第三行和第四行： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & b-2 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 \end{pmatrix}$ 2. 分析矩阵： - 如果$b \neq 2$，那么第三行的最后一个元素$b-2 \neq 0$，这使得系统不一致。因此，$\vec{b}$不能由$\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$,和$\vec{a_3}$线性表示。所以，说法A是正确的。 - 如果$b = 2$，那么矩阵变为： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 \end{pmatrix}$ - 如果$a \neq 1$，那么第四行的元素$a-1 \neq 0$，这使得$\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$,和$\vec{a_3}$线性无关，且$\vec{b}$可以由它们唯一线性表示。所以，说法D是正确的。 - 如果$a = 1$，那么矩阵变为： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 这意味着$\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$,和$\vec{a_3}$线性相关，且$\vec{b}$可以由它们线性表示，但表示不唯一。所以，说法B是正确的。 3. 检查说法C： 当$a = 1$且$b = 2$时，$\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$,和$\vec{a_3}$的秩是2，而不是1。因此，说法C是不正确的。 正确的说法是A，B，和D。所以，答案是： $\boxed{A, B, D}$
解析
本题考查向量的线性表示以及矩阵的秩的相关知识。解题思路是通过对增广矩阵进行行简化，根据不同的参数取值情况情况来判断向量之间的线性线性关系。
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形成增广矩阵\([\vec{\alpha_1} \vec{\alpha_2} \vec{\alpha_3} \vec{\beta}])： \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 4 & 7 & 1 & 10 \\ 0 & 1 -1 & b \\ 2 & 3 & a & 4 \end{pmatrix} 2. 对矩阵进行行简化： - 从第二行减去4倍的第一行，从第四行减去2倍的第一行： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 0 & -1 & a & -2\end{pmatrix}$
- 接着，将第二行加到第三行和第四行：
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & b - 2 \\ 0 & 0 & a - 1 & 0\end{pmatrix}$
- 接着，将第二行加到第三行和第四行：
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根据行简化后的矩阵进行分析
- 当$b \neq 2$时，第三行的最后一个元素$\(b - 2$ ) $\neq 0$，这使得系统不一致。因此，$\vec{\beta}$不能由$\vec{\alpha_1}$，$\vec{\alpha_2}$，和\(\vec{\alpha_3}\线性任意一个或多个线性表示。所以，说法A是正确的。
- 当$b = 2$时，矩阵变为：
- 若$a \neq 1$，那么第四行的元素( $a - 1$ ) $\neq 0$，这使得$\vec{\alpha_1}$，$\vec{\alpha_2}$，和$\vec{\alpha_3$线性无关，且$\vec{\beta}$可以由它们唯一线性表示。所以，说法D是正确的。
- 若$a = 1$，那么矩阵变为
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0一个一个一个或多个线性表示。所以，说法A是正确的。 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
这意味着$\vec{\alpha_1}$，$\vec{\alpha_2}$，和$\vec{\alpha_3}$线性相关，且$\vec{\beta$可以由它们线性表示，但表示不唯一。所以，说法B是正确的。
- 当$a = 1$且$b = 2$时，$\vec{\alpha_1}$，$\vec{\alpha_2}$，和$\vec{\alpha_3}$的秩是2，而不是1。因此，说法C是不正确的。
- 当$b \neq 2$时，第三行的最后一个元素$\(b - 2$ ) $\neq 0$，这使得系统不一致。因此，$\vec{\beta}$不能由$\vec{\alpha_1}$，$\vec{\alpha_2}$，和\(\vec{\alpha_3}\线性任意一个或多个线性表示。所以，说法A是正确的。
- 当$b = 2$时，矩阵变为：