题目

12、设总体Xsim N(12,2^2)，X_(1),X_(2),...,X_(25)为来自X的样本，试求样本均值overline(X)与总体均值之差大于(1)/(2)的概率.（Phi(0.25)=0.5987，Phi(1.25)=0.8944）。

12、设总体$X\sim N(12,2^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{25}$为来自X的样本，试求样本均值$\overline{X}$与总体均值之差大于$\frac{1}{2}$的概率.（$\Phi(0.25)=0.5987$，$\Phi(1.25)=0.8944$）。

题目解答

答案

已知总体 $X \sim N(12, 2^2)$，样本大小 $n = 25$，样本均值 $\overline{X} \sim N\left(12, \frac{4}{25}\right)$，标准差为 $\frac{2}{5} = 0.4$。 求 $P\left(|\overline{X} - 12| > \frac{1}{2}\right)$： 标准化得 $Z = \frac{\overline{X} - 12}{0.4} \sim N(0, 1)$， 则 $P\left(|Z| > \frac{1/2}{0.4}\right) = P(|Z| > 1.25)$。 由对称性，$P(|Z| > 1.25) = 2[1 - \Phi(1.25)]$。 已知 $\Phi(1.25) = 0.8944$， 故 $P(|Z| > 1.25) = 2 \times (1 - 0.8944) = 0.2112$。 **答案：** $\boxed{0.2112}$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布下样本均值的分布以及标准正态分布的概率计算。

解题核心思路：

  1. 明确样本均值$\overline{X}$的分布：由于总体$X$服从正态分布，样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，其均值与总体均值相同，方差为总体方差除以样本量。
  2. 将原概率问题转化为标准正态分布问题，利用给定的$\Phi$值计算最终结果。

破题关键点：

  • 标准化处理：将$\overline{X}$的分布转化为标准正态变量$Z$。
  • 绝对值概率的对称性：利用$P(|Z| > a) = 2[1 - \Phi(a)]$简化计算。

  1. 确定样本均值的分布
    总体$X \sim N(12, 2^2)$，样本量$n=25$，则样本均值$\overline{X}$服从正态分布：
    $\overline{X} \sim N\left(12, \frac{4}{25}\right)$
    标准差为$\sqrt{\frac{4}{25}} = 0.4$。

  2. 标准化处理
    定义标准正态变量$Z$：
    $Z = \frac{\overline{X} - 12}{0.4} \sim N(0, 1)$
    原概率问题转化为：
    $P\left(|\overline{X} - 12| > \frac{1}{2}\right) = P\left(|Z| > \frac{1/2}{0.4}\right) = P(|Z| > 1.25)$

  3. 计算概率值
    利用标准正态分布的对称性：
    $P(|Z| > 1.25) = 2[1 - \Phi(1.25)]$
    代入$\Phi(1.25) = 0.8944$：
    $2 \times (1 - 0.8944) = 0.2112$