题目
已知向量组1 3 1 0-|||-x1= -1-|||-2 ,α2= 2-|||-1 α3= 1-|||--1 ,α4= 1-|||-1-|||-1 0 1 -3求：向量组的秩；判定向量组的线性相关性；求向量组的一个最大无关组，将其它向量用最大无关组线性表示。
已知向量组
求：向量组的秩；判定向量组的线性相关性；求向量组的一个最大无关组，将其它向量用最大无关组线性表示。
题目解答
答案
记
，显然
，所以该向量组的秩为
，由此可知该向量组是线性相关的，向量组的一个最大无关组为
我们假设
，即
，于是可以解得
，即
解析
步骤 1：构造矩阵并进行初等行变换
构造矩阵$A=({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4})$，并进行初等行变换，以求得矩阵的秩。
步骤 2：求矩阵的秩
通过初等行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，从而求得矩阵的秩。
步骤 3：判断向量组的线性相关性
根据矩阵的秩，判断向量组的线性相关性。
步骤 4：求向量组的一个最大无关组
根据矩阵的秩，确定向量组的一个最大无关组。
步骤 5：将其它向量用最大无关组线性表示
通过解线性方程组，将其它向量用最大无关组线性表示。
构造矩阵$A=({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4})$，并进行初等行变换，以求得矩阵的秩。
步骤 2：求矩阵的秩
通过初等行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，从而求得矩阵的秩。
步骤 3：判断向量组的线性相关性
根据矩阵的秩，判断向量组的线性相关性。
步骤 4：求向量组的一个最大无关组
根据矩阵的秩，确定向量组的一个最大无关组。
步骤 5：将其它向量用最大无关组线性表示
通过解线性方程组，将其它向量用最大无关组线性表示。