(单选题)设X1,X2,X3是总体X的样本,X1,X2,X3存在,则下列无偏估计量中哪一个估计量更有效( ). A. X1,X2,X3B. X1,X2,X3C. X1,X2,X3D. X1,X2,X3

考查要点：本题主要考查无偏估计量的有效性判断，即比较不同线性组合估计量的方差大小。核心思路是计算每个选项中方差，并选择方差最小的估计量。

关键点：

1. 无偏性：所有选项均为无偏估计量，即$E(\hat{\mu}) = \mu$。
2. 方差计算：对于线性组合$\hat{\mu} = w_1X_1 + w_2X_2 + w_3X_3$，其方差为$D(\hat{\mu}) = \sigma^2 \sum w_i^2$（样本独立，协方差为0）。
3. 有效性：方差越小的估计量越有效。

选项方差计算

选项A

权重：$\frac{1}{6}, \frac{2}{3}, \frac{1}{6}$
平方和：
$\left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} + \frac{4}{9} + \frac{1}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$
方差：$\sigma^2 \cdot \frac{1}{2}$

选项B

权重：$\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$
平方和：
$\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
方差：$\sigma^2 \cdot \frac{3}{8}$

选项C

权重：$\frac{1}{5}, \frac{3}{5}, \frac{1}{5}$
平方和：
$\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25} + \frac{9}{25} + \frac{1}{25} = \frac{11}{25}$
方差：$\sigma^2 \cdot \frac{11}{25}$

选项D

权重：$\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$
平方和：
$\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{1}{25} + \frac{4}{25} + \frac{4}{25} = \frac{9}{25}$
方差：$\sigma^2 \cdot \frac{9}{25}$

比较方差

四个选项的方差分别为：

• A: $\frac{1}{2}\sigma^2$
• B: $\frac{3}{8}\sigma^2$
• C: $\frac{11}{25}\sigma^2$
• D: $\frac{9}{25}\sigma^2$

最小方差为$\frac{9}{25}\sigma^2$，对应选项D。