设随机变量X,Y服从二维正态分布Xsim N(1,1),Ysim N(1,4),rho_(XY)=(1)/(2)，则下列随机变量中服从标准正态分布的是()A. (sqrt(5))/(5)(X+Y)B. (sqrt(5))/(5)(X-Y)C. (sqrt(3))/(3)(X+Y)D. (sqrt(3))/(3)(X-Y)

考查要点：本题主要考查二维正态分布下线性组合的期望与方差计算，以及标准正态分布的判定条件。

解题核心思路：

1. 标准正态分布的条件：随机变量需满足均值为0，方差为1。
2. 线性组合的期望与方差：对于形如$Z = aX + bY$的线性组合，需计算$E(Z)$和$D(Z)$，并验证是否满足标准正态分布的条件。
3. 协方差的计算：利用相关系数$\rho_{XY}$和方差公式计算协方差$\text{Cov}(X,Y)$，进而求出方差$D(Z)$。

破题关键点：

• 期望为0：线性组合的系数需满足$aE(X) + bE(Y) = 0$。
• 方差为1：通过方差公式$D(Z) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab\text{Cov}(X,Y)$验证。

步骤1：计算协方差

已知$\rho_{XY} = \frac{1}{2}$，$D(X)=1$，$D(Y)=4$，则：
$\text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)D(Y)} = \frac{1}{2} \times \sqrt{1 \times 4} = 1.$

步骤2：逐项分析选项

选项D：$Z = \frac{\sqrt{3}}{3}(X - Y)$

1. 期望：
   $E(Z) = \frac{\sqrt{3}}{3}(E(X) - E(Y)) = \frac{\sqrt{3}}{3}(1 - 1) = 0.$
2. 方差：
   $\begin{aligned}D(Z) &= \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \left[D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)\right] \\&= \frac{1}{3} \left[1 + 4 - 2 \times 1\right] \\&= \frac{1}{3} \times 3 = 1.\end{aligned}$
   结论：满足标准正态分布条件。

其他选项分析（简要）

• 选项A：$\frac{\sqrt{5}}{5}(X+Y)$
  $E(Z) = \frac{2\sqrt{5}}{5} \neq 0$，排除。
• 选项B：$\frac{\sqrt{5}}{5}(X-Y)$
  $D(Z) = \frac{3}{5} \neq 1$，排除。
• 选项C：$\frac{\sqrt{3}}{3}(X+Y)$
  $E(Z) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \neq 0$，排除。