题目
填空题（8.0分）7.设Xsim N(mu,sigma^2)，则E((X-mu)/(sigma))=____.
填空题（8.0分）
7.设$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$E(\frac{X-\mu}{\sigma})$=____.
题目解答
答案
为了求解 $ E\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right) $，我们首先需要利用期望的线性性质。期望的线性性质表明，对于任意随机变量 $ X $ 和常数 $ a $ 和 $ b $，有 $ E(aX + b) = aE(X) + b $。
在本题中，我们有 $ \frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{1}{\sigma}X - \frac{\mu}{\sigma} $。根据期望的线性性质，我们可以将期望分配到每一项上：
\[
E\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right) = E\left(\frac{1}{\sigma}X - \frac{\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma}E(X) - \frac{\mu}{\sigma}
\]
由于 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，我们知道 $ E(X) = \mu $。将 $ E(X) = \mu $ 代入上式，我们得到：
\[
E\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma}\mu - \frac{\mu}{\sigma} = \frac{\mu}{\sigma} - \frac{\mu}{\sigma} = 0
\]
因此，答案是 $\boxed{0}$。
解析
步骤 1：应用期望的线性性质
期望的线性性质表明，对于任意随机变量 $X$ 和常数 $a$ 和 $b$，有 $E(aX + b) = aE(X) + b$。在本题中，我们有 $\frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{1}{\sigma}X - \frac{\mu}{\sigma}$。根据期望的线性性质，我们可以将期望分配到每一项上：\[ E\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right) = E\left(\frac{1}{\sigma}X - \frac{\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma}E(X) - \frac{\mu}{\sigma} \]
步骤 2：代入 $E(X)$ 的值
由于 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，我们知道 $E(X) = \mu$。将 $E(X) = \mu$ 代入上式，我们得到：\[ E\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma}\mu - \frac{\mu}{\sigma} = \frac{\mu}{\sigma} - \frac{\mu}{\sigma} = 0 \]
期望的线性性质表明，对于任意随机变量 $X$ 和常数 $a$ 和 $b$，有 $E(aX + b) = aE(X) + b$。在本题中，我们有 $\frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{1}{\sigma}X - \frac{\mu}{\sigma}$。根据期望的线性性质，我们可以将期望分配到每一项上：\[ E\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right) = E\left(\frac{1}{\sigma}X - \frac{\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma}E(X) - \frac{\mu}{\sigma} \]
步骤 2：代入 $E(X)$ 的值
由于 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，我们知道 $E(X) = \mu$。将 $E(X) = \mu$ 代入上式，我们得到：\[ E\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma}\mu - \frac{\mu}{\sigma} = \frac{\mu}{\sigma} - \frac{\mu}{\sigma} = 0 \]