题目
设某次考试的考生成绩服从正态分布, 从中随机地抽取∞位考生的成绩如下: ∞问在显著性水平∞ 下, 是否可以认为这次考试全体考生平均成绩为 ∞分? (已知∞).
设某次考试的考生成绩服从正态分布, 从中随机地抽取
位考生的成绩如下: 
问在显著性水平
下, 是否可以认为这次考试全体考生平均成绩为 
分? (已知
).
题目解答
答案
首先，我们计算样本的平均成绩和样本标准差。
样本平均成绩为：
样本方差为：
样本标准差为：
由于题目没有给出具体的样本方差或标准差，我们暂时用
表示样本标准差。
接下来，我们进行假设检验。
原假设
：全体考生平均成绩为 分，即
。
备择假设
：全体考生平均成绩不为 分，即
。
由于样本量
较小，且不知道总体方差，我们使用
检验。
检验统计量为：
其中，
是原假设下的总体均值。
将已知数据代入，得：
由于 
，它位于 分布的对称轴上，即值的绝对值小于任何正数。
在显著性水平下，双侧检验的临界值为 
。
由于
，我们接受原假设，即认为这次考试全体考生平均成绩为 分。
解析
步骤 1：计算样本平均成绩
样本平均成绩为：
$\overline {x}=\dfrac {1}{8}\times (72+85+65+71+80+69+68+78)=75$
步骤 2：计算样本标准差
样本方差为：
${s}^{2}=\dfrac {1}{8-1}\times [ {(72-75)}^{2}+{(85-75)}^{2}+\cdots +{(78-75)}^{2}] =\dfrac {1}{7}\times (9+100+16+16+25+4+1+9)=\dfrac {1}{7}\times 180=\dfrac {180}{7}$
样本标准差为：
${s}=\sqrt {\dfrac {180}{7}}\approx 5.1$
步骤 3：进行假设检验
原假设H0：全体考生平均成绩为 分，即$\mu=75$。
备择假设H1：全体考生平均成绩不为 分，即$\mu\neq75$。
由于样本量$n=8$较小，且不知道总体方差，我们使用t检验。
检验统计量为：
$t=\dfrac {\overline {x}-\mu}{s/\sqrt {n}}=\dfrac {75-75}{5.1/\sqrt {8}}=0$
步骤 4：确定临界值并进行判断
在显著性水平$\alpha=0.1$下，双侧检验的临界值为${t}_{0.05}(n-1)={t}_{0.05}(7)$。
由于题目给出的是${t}_{0.025}(7)=2.365$，我们使用这个值作为临界值。
由于$|t|=0\lt 2.365$，我们接受原假设H0，即认为这次考试全体考生平均成绩为 分。
样本平均成绩为：
$\overline {x}=\dfrac {1}{8}\times (72+85+65+71+80+69+68+78)=75$
步骤 2：计算样本标准差
样本方差为：
${s}^{2}=\dfrac {1}{8-1}\times [ {(72-75)}^{2}+{(85-75)}^{2}+\cdots +{(78-75)}^{2}] =\dfrac {1}{7}\times (9+100+16+16+25+4+1+9)=\dfrac {1}{7}\times 180=\dfrac {180}{7}$
样本标准差为：
${s}=\sqrt {\dfrac {180}{7}}\approx 5.1$
步骤 3：进行假设检验
原假设H0：全体考生平均成绩为 分，即$\mu=75$。
备择假设H1：全体考生平均成绩不为 分，即$\mu\neq75$。
由于样本量$n=8$较小，且不知道总体方差，我们使用t检验。
检验统计量为：
$t=\dfrac {\overline {x}-\mu}{s/\sqrt {n}}=\dfrac {75-75}{5.1/\sqrt {8}}=0$
步骤 4：确定临界值并进行判断
在显著性水平$\alpha=0.1$下，双侧检验的临界值为${t}_{0.05}(n-1)={t}_{0.05}(7)$。
由于题目给出的是${t}_{0.025}(7)=2.365$，我们使用这个值作为临界值。
由于$|t|=0\lt 2.365$，我们接受原假设H0，即认为这次考试全体考生平均成绩为 分。