题目
设总体 X 的概率密度为 f(x)= } (6x)/(theta^3)(theta-x), & 0 C. max(X_1, X_2, ..., X_n)
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases} \frac{6x}{\theta^3}(\theta-x), & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自 $X$ 的简单随机样本，则 $\theta$ 的矩估计量为(）。
A. $\overline{X}$
B. $2\overline{X}$
C. $\max(X_1, X_2, \cdots, X_n)$
题目解答
答案
B. $2\overline{X}$
解析
步骤 1：计算总体期望 $E(X)$
根据给定的概率密度函数，计算总体期望 $E(X)$。 \[ E(X) = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{6x}{\theta^3}(\theta - x) \, dx \] 将积分式展开并计算： \[ E(X) = \int_{0}^{\theta} \left( \frac{6x^2}{\theta^2} - \frac{6x^3}{\theta^3} \right) \, dx = \left[ \frac{6x^3}{3\theta^2} - \frac{6x^4}{4\theta^3} \right]_{0}^{\theta} = 2\theta - \frac{3\theta}{2} = \frac{\theta}{2} \]
步骤 2：令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望
根据矩估计法，令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望 $E(X)$，从而求出 $\theta$ 的矩估计量。 \[ \overline{X} = \frac{\theta}{2} \implies \theta = 2\overline{X} \]
根据给定的概率密度函数，计算总体期望 $E(X)$。 \[ E(X) = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{6x}{\theta^3}(\theta - x) \, dx \] 将积分式展开并计算： \[ E(X) = \int_{0}^{\theta} \left( \frac{6x^2}{\theta^2} - \frac{6x^3}{\theta^3} \right) \, dx = \left[ \frac{6x^3}{3\theta^2} - \frac{6x^4}{4\theta^3} \right]_{0}^{\theta} = 2\theta - \frac{3\theta}{2} = \frac{\theta}{2} \]
步骤 2：令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望
根据矩估计法，令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望 $E(X)$，从而求出 $\theta$ 的矩估计量。 \[ \overline{X} = \frac{\theta}{2} \implies \theta = 2\overline{X} \]