题目
2.已知某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布N(4.55, 0.108²)，现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484。如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55? (α=0.05) z_(0.05)=1.645 z_(0.025)=1.96
2.已知某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布N(4.55, 0.108²)，现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484。如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55? (α=0.05) $z_{0.05}=1.645$ $z_{0.025}=1.96$
题目解答
答案
已知铁水含碳量服从正态分布 $N(4.55, 0.108^2)$，样本均值 $\bar{X} = 4.484$，样本量 $n = 9$。检验假设 $H_0: \mu = 4.55$ 对 $H_1: \mu \neq 4.55$，显著性水平 $\alpha = 0.05$。
计算检验统计量：
\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / 3} \approx -1.8333
\]
双侧检验的临界值为 $z_{0.025} = 1.96$，拒绝域为 $|Z| > 1.96$。因 $|Z| \approx 1.8333 < 1.96$，不拒绝 $H_0$。
**结论：** 在 $\alpha = 0.05$ 下，认为平均含碳量仍为4.55。
$\boxed{\text{可以认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55}}$
解析
步骤 1：确定假设
- 零假设 $H_0: \mu = 4.55$，即铁水含碳量的平均值为4.55。
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 4.55$，即铁水含碳量的平均值不为4.55。
步骤 2：计算检验统计量
- 样本均值 $\bar{X} = 4.484$，样本量 $n = 9$，总体标准差 $\sigma = 0.108$。
- 检验统计量 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / \sqrt{9}} = \frac{-0.066}{0.036} \approx -1.8333$。
步骤 3：确定临界值和拒绝域
- 显著性水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值为 $z_{0.025} = 1.96$。
- 拒绝域为 $|Z| > 1.96$。
步骤 4：做出决策
- 因为 $|Z| \approx 1.8333 < 1.96$，所以不拒绝零假设 $H_0$。
- 零假设 $H_0: \mu = 4.55$，即铁水含碳量的平均值为4.55。
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 4.55$，即铁水含碳量的平均值不为4.55。
步骤 2：计算检验统计量
- 样本均值 $\bar{X} = 4.484$，样本量 $n = 9$，总体标准差 $\sigma = 0.108$。
- 检验统计量 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / \sqrt{9}} = \frac{-0.066}{0.036} \approx -1.8333$。
步骤 3：确定临界值和拒绝域
- 显著性水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值为 $z_{0.025} = 1.96$。
- 拒绝域为 $|Z| > 1.96$。
步骤 4：做出决策
- 因为 $|Z| \approx 1.8333 < 1.96$，所以不拒绝零假设 $H_0$。