2.4 某大学 10000 名本科生，现欲估计爱暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。随机抽取了两百名学生进行调查，得到 P=0.35，是估计该大学所有本科生中暑假参加培训班的比例的 95%置信区间。f = n

考查要点：本题主要考查有限总体比例的置信区间估计，涉及样本比例、方差计算、有限总体校正因子的应用，以及正态近似法的使用。

解题核心思路：

1. 确定总体与样本参数：明确总体大小$N=10000$，样本量$n=200$，样本比例$p=0.35$。
2. 计算有限总体校正因子：由于样本量占总体比例$f = \frac{n}{N}=0.02$，需引入校正因子调整方差。
3. 计算方差与标准误：使用有限总体的方差公式，结合样本比例$p$，求出标准误。
4. 确定临界值与置信区间：利用$95\%$置信水平对应的正态分布临界值$Z_{\alpha/2}=1.96$，结合标准误计算区间范围。

破题关键点：

• 有限总体校正因子的正确应用，避免忽略总体有限对结果的影响。
• 方差公式的调整：在有限总体中，方差需通过$(1-f)/(n-1)$进行修正。
• 精确计算：注意中间步骤保留足够小数位，避免四舍五入误差。

步骤1：计算有限总体校正因子

校正因子$f = \frac{n}{N} = \frac{200}{10000} = 0.02$。

步骤2：计算样本比例方差

有限总体比例方差公式为：
$V(p) = \frac{1-f}{n-1} \cdot p(1-p)$
代入数据：
$V(p) = \frac{1-0.02}{200-1} \cdot 0.35 \cdot 0.65 = \frac{0.98}{199} \cdot 0.2275 \approx 0.0011206$

步骤3：计算标准误

标准误为方差的平方根：
$\sqrt{V(p)} = \sqrt{0.0011206} \approx 0.03348$

步骤4：确定临界值

$95\%$置信水平对应的正态分布临界值为$Z_{\alpha/2} = 1.96$。

步骤5：计算置信区间

置信区间公式为：
$p \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{V(p)}$
代入数据：
$0.35 \pm 1.96 \cdot 0.03348 \approx 0.35 \pm 0.0656$
最终区间为：
$[0.35 - 0.0656, 0.35 + 0.0656] = [0.2844, 0.4156]$
保留四位小数后，结果为$[0.2843, 0.4157]$。