题目
2.4 某大学 10000 名本科生，现欲估计爱暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。随机抽取了两百名学生进行调查，得到 P=0.35，是估计该大学所有本科生中暑假参加培训班的比例的 95%置信区间。f = n
2.4 某大学 10000 名本科生，现欲估计爱暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。随机抽取了两百名学生进行调查，得到 P=0.35，是估计该大学所有本科生中暑假参加培训班的比例的 95%置信区间。f = n
题目解答
答案
解析：由已知得： N=10000 n=200 p=0.35N =0.02andV ( pand)=1−fn−1 p(1−p)=0.0012又有： E( p)=E(p)=p=0.35该 大 学 所 有 本 科 学 生 中 暑 假 参 加 培 训 班 的 比 例 95% 的 置 信 区 间 为 ：and[E( P)±Z α√V ( P)]2代入数据计算得：该区间为[0.2843，0.4157]
解析
步骤 1：确定已知参数
- 总体数量 \( N = 10000 \)
- 样本数量 \( n = 200 \)
- 样本比例 \( \hat{p} = 0.35 \)
- 置信水平 \( 1 - \alpha = 0.95 \)
步骤 2：计算抽样比例的方差
- 有限总体校正因子 \( f = \frac{n}{N} = \frac{200}{10000} = 0.02 \)
- 抽样比例的方差 \( V(\hat{p}) = \frac{1 - f}{n - 1} \hat{p}(1 - \hat{p}) = \frac{1 - 0.02}{200 - 1} \times 0.35 \times 0.65 = \frac{0.98}{199} \times 0.2275 \approx 0.00114 \)
步骤 3：计算置信区间
- 置信水平 \( 1 - \alpha = 0.95 \) 对应的 \( Z_{\alpha/2} = 1.96 \)
- 置信区间的半宽 \( E = Z_{\alpha/2} \sqrt{V(\hat{p})} = 1.96 \times \sqrt{0.00114} \approx 0.065 \)
- 置信区间为 \( \hat{p} \pm E = 0.35 \pm 0.065 \)
- 总体数量 \( N = 10000 \)
- 样本数量 \( n = 200 \)
- 样本比例 \( \hat{p} = 0.35 \)
- 置信水平 \( 1 - \alpha = 0.95 \)
步骤 2：计算抽样比例的方差
- 有限总体校正因子 \( f = \frac{n}{N} = \frac{200}{10000} = 0.02 \)
- 抽样比例的方差 \( V(\hat{p}) = \frac{1 - f}{n - 1} \hat{p}(1 - \hat{p}) = \frac{1 - 0.02}{200 - 1} \times 0.35 \times 0.65 = \frac{0.98}{199} \times 0.2275 \approx 0.00114 \)
步骤 3：计算置信区间
- 置信水平 \( 1 - \alpha = 0.95 \) 对应的 \( Z_{\alpha/2} = 1.96 \)
- 置信区间的半宽 \( E = Z_{\alpha/2} \sqrt{V(\hat{p})} = 1.96 \times \sqrt{0.00114} \approx 0.065 \)
- 置信区间为 \( \hat{p} \pm E = 0.35 \pm 0.065 \)