[二十四]某地区18岁的女青年的血压(收缩区,以mm-Hg计)服从N(110,12在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X。求P(X≤105),P(100<X≤120).(2)确定最小的X使P(X>x)≤0.05

本题主要考查正态分布的概率计算以及根据概率确定分位数，解题的关键在于利用正态分布的标准化公式将一般正态分布分布转化为标准正态分布，再通过查标准正态分布表表来求解概率值或分位数。

（1）计算$P(X\leq105)$和$P(100\lt;X\leq120)$

已知$X\sim N(110,12^2)$，若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，其中$\mu = 110$，$\sigma = 12$。

• 计算$1) \(P(X\leq105)$：
  根据标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，可得$P(X\leq105)=P\left(\frac{X - 110}{12}\leq\frac{105 - 110}{12}\right)=P\left(Z\leq\frac{-5}{12}\right)$。
  $\frac{-5{12}\approx0.4167$，即$P\left(Z\leq\frac{-5}{12}\right)=\varPhi(-0.4167)$。
  由标准正态分布的性质$\Phi(-z)=1 - \Phi(z)$，可得$\Phi(-0.4167)=1 - \Phi(0.4167)$。
  查标准正态分布表得$\Phi(0.4167)\approx0.6616$，所以$P(X\leq105)=1 - 0.6616 = 0.3384$。
• 计算$P(100lt;lt;X\leq120)$：
  同样根据标准化公式，$P(100lt;X\leq120)=P\left(\frac{100 - 110}{12}lt;\frac{X - 110}{12}\leq\frac{120 - 110}{12}\right)=P\left(-\frac{5}{6}lt;Zleq\frac{5}{6}\right)$。
  $\frac5{6}\approx0.8333$，即$P\left(-0.8333lt;Zleq0.8333)$。
  由标准正态分布的性质$P(-zlt;Zleqz)=\Phi(z)-\Phi(-z)=2\Phi(z)-1$可得$P(-0.8333lt;Zleq0.8333)=2\Phi(0.8333)-1$。
  查标准标准正态标准正态分布表得$\Phi(0.8333)\approx0.7976$，所以$P(10lt;Xleq120)=2\times0.7976 - 1 = 0.5952$。

（2）确定最小的$x$使$P(Xgt;x)\leq0.05$

已知$2) \(P(Xgt;x)=1 - P(Xleqx)$，根据标准化公式$P(Xleqx)=P\left\left(\frac{x - 110}{12})$，则$P(Xgt;x)=1 - \Phi(\frac{x - 110}{12})$。
因为$P(Xgt;x)\leq0.05$，所以$1 - \Phi(\frac{x - 110}{12})\leq0.05$，移项可得$\Phi(\frac{x - 110}{12})\geq0.95$。
查标准正态分布表得$\Phi(1.645)=0.95$，所以$\frac{x - 110}{12}\geq1.645$。
不等式两边同时乘以$12$得$x - 110\geq1.645\times12$，$1.645\times12 = 19.74$，即$x - 110\geq19.74$，移项可得$x\geq110 + 19.74 = 129.74$。
故最小的$x = 129.74$。