题目

设总体Xsim N(mu,sigma^2)，sigma^2为已知，mu为未知，X_(1),X_(2),...,X_(n)为来自总体的样本，对给定的alpha(0<alpha<1)，则参数mu的置信度为1-alpha的置信区间为().A. (bar(X)-u_(1-(alpha)/(2))(sigma)/(sqrt(n))，bar(X)+u_(1-(alpha)/(2))(sigma)/(sqrt(n)))B. (bar(X)-t_(1-(alpha)/(2))(S)/(sqrt(n))，bar(X)+t_(1-(alpha)/(2))(S)/(sqrt(n)))C. (bar(X)-u_((alpha)/(2))(sigma)/(sqrt(n))，bar(X)+u_((alpha)/(2))(sigma)/(sqrt(n)))D. (bar(X)-t_((alpha)/(2))(S)/(sqrt(n))，bar(X)+t_((alpha)/(2))(S)/(sqrt(n)))

设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$为已知，$\mu$为未知，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自总体的样本，对给定的$\alpha(0<\alpha<1)$，则参数$\mu$的置信度为$1-\alpha$的置信区间为().

A. $\left(\bar{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}，\bar{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

B. $\left(\bar{X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}}，\bar{X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

C. $\left(\bar{X}-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}，\bar{X}+u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

D. $\left(\bar{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}}，\bar{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

题目解答

答案

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma^2$ 已知，$\mu$ 未知。样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
标准化后得：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$
对于给定的 $\alpha$，双侧分位数 $u_{1-\frac{\alpha}{2}}$ 满足：
$P\left(-u_{1-\frac{\alpha}{2}} < Z < u_{1-\frac{\alpha}{2}}\right) = 1 - \alpha$
代入得：
$P\left(\bar{X} - u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{X} + u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$
因此，$\mu$ 的置信区间为：
$\left(\bar{X} - u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$
选项 A 符合该区间形式。

答案： $\boxed{A}$

解析

本题考查正态总体在方差已知时，均值的置信区间的求解。解题的关键思路是利用样本均值的分布性质，通过标准化变换得到服从标准正态分布的统计量，再根据给定的置信度确定分位数，从而构建出均值的置信区间。

  1. 首先明确样本均值的分布：
    • 已知总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自总体的样本，根据正态分布的性质，样本均值$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$服从正态分布$N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)$。
  2. 然后对样本均值进行标准化：
    • 令$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，由于$\bar{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)$，根据正态分布的标准化公式，$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。
  3. 接着根据置信度确定分位数：
    • 对于给定的$\alpha(0\lt\alpha\lt1)$，双侧分位数$u_{1 - \frac{\alpha}{2}}$满足$P\left(-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\lt Z\lt u_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)=1 - \alpha$。这里$u_{1-\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位数，即$P(Z\gt u_{1-\frac{\alpha}{2}})=\frac{\alpha}{2}$，$P(Z\lt - u_{1-\frac{\alpha}{2}})=\frac{\alpha}{2}$，所以$P\left(-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\lt Z\lt u_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)=1-\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}=1 - \alpha$。
  4. 最后将$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$代入概率不等式：
    • 把$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$代入$P\left(-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\lt Z\lt u_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)=1 - \alpha$中，得到$P\left(-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\lt\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\lt u_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)=1 - \alpha$。
    • 对不等式$-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\lt\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\lt u_{1-\frac{\alpha}{2}}$进行变形：
      • 先将不等式各项同时乘以$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，得到$-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\lt\bar{X}-\mu\lt u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
      • 再将不等式各项同时减去$\bar{X}$并乘以$- 1$，不等号方向改变，得到$\bar{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\lt\mu\lt\bar{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
    • 所以$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间为$\left(\bar{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$。