设随机变量 X sim U(2,4)，则 P3 A. P1 B. P2 C. P3 D. P0

本题考查均匀分布的概率计算。解题思路是先明确均匀分布的概率密度函数，再根据概率密度函数计算指定区间的概率，最后分别计算各选项的概率并与$P\{3 < X \leq 4\}$进行比较。

步骤一：确定随机变量$X$的概率密度函数

已知随机变量$X \sim U(2,4)$，即$X$服从区间$(2,4)$上的均匀分布。
对于均匀分布$U(a,b)$，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b - a}, & a < x < b \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$。
所以$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{4 - 2}=\frac{1}{2}, & 2 < x < 4 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$。

步骤二：计算$P\{3 < X \leq 4\}$

根据连续型随机变量在某区间上的概率等于其概率密度函数在该区间上的定积分，可得：
$P\{3 < X \leq 4\}=\int_{3}^{4}f(x)dx=\int_{3}^{4}\frac{1}{2}dx$
根据定积分的计算法则$\int_{a}^{b}kdx=k(b - a)$（$k$为常数），则$\int_{3}^{4}\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}\times(4 - 3)=\frac{1}{2}$。

步骤三：分别计算各选项的概率

• 选项A：计算$P\{1 < X < 2\}$
  因为当$1 < x < 2$时，$f(x)=0$，所以$P\{1 < X < 2\}=\int_{1}^{2}f(x)dx=\int_{1}^{2}0dx = 0\neq\frac{1}{2}$。
• 选项B：计算$P\{2 < X < 3.5\}$
  $P\{2 < X < 3.5\}=\int_{2}^{3.5}f(x)dx=\int_{2}^{3.5}\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}\times(3.5 - 2)=\frac{3}{4}\neq\frac{1}{2}$。
• 选项C：计算$P\{3 < X < 7.5\}$
  $P\{3 < X < 7.5\}=\int_{3}^{7.5}f(x)dx=\int_{3}^{4}\frac{1}{2}dx+\int_{4}^{7.5}0dx$
  $\int_{3}^{4}\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}\times(4 - 3)=\frac{1}{2}$，$\int_{4}^{7.5}0dx = 0$，所以$P\{3 < X < 7.5\}=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$。
• 选项D：计算$P\{0 < X < 3.5\}$
  $P\{0 < X < 3.5\}=\int_{0}^{3.5}f(x)dx=\int_{0}^{2}0dx+\int_{2}^{3.5}\frac{1}{2}dx$
  $\int_{0}^{2}0dx = 0$，$\int_{2}^{3.5}\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}\times(3.5 - 2)=\frac{3}{4}$，所以$P\{0 < X < 3.5\}=0+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\neq\frac{1}{2}$。