已知随机变量 sim N(-3,1) sim N(2,1) ,且X,Y相互独已知随机变量 sim N(-3,1) sim N(2,1) ,且X,Y相互独

本题主要考查正态分布的性质以及随机变量线性组合的期望和方差计算。

步骤1：明确已知条件

• $X \sim N(-3,1)$：表示$X$服从均值$E(X)=-3$、方差$D(X)=1$的正态分布；
• $Y \sim N(2,1)$：表示$Y$服从均值$E(Y)=2$、方差$D(Y)=1$的正态分布；
• $X$与$Y$相互独立。

步骤2：计算$Z = X - 2Y + 7$的期望$E(Z)$

根据期望的线性性质（无论变量是否独立均成立）：
$E(Z) = E(X - 2YY + 7) = E(X) - 2E(Y) + 7$
代入$(E(X)=-3$、$E(Y)=2$：
$E(Z) = -3 - 2 \times2 + 7 = -3 - 4 + 7 = 0$

步骤3：计算$Z = X -2Y + 7$的方差$D(Z)$

由于$X$与$Y$相互独立，方差的性质：$D(aX + bY + c) = a^2D(X) + b^2D(Y)$（常数$c$为常数，方差为0）：
$D(Z) = D(X) + (-2)^2D(Y) = D(Y) = 1 + 4times1 = 5$

步骤4：确定$Z$的分布

正态分布的线性组合仍为正态分布，且均值为$E(Z)=0$，方差为$D(Z)=5$，故$Z \sim N(0,5)$。