题目
6.一个计算机系统有400个终端，每时刻每个终端有80%的概率在使用，如果各个终端的使用与否互相独立，估计在任一时刻有310~330个终端在使用的概率.(Φ(1)=0.841,Φ(1.25)=0.894,Φ(1.5)=0.933)
6.一个计算机系统有400个终端，每时刻每个终端有80%的概率在使用，如果各个终端的使用与否互相独立，估计在任一时刻有310~330个终端在使用的概率.
(Φ(1)=0.841,Φ(1.25)=0.894,Φ(1.5)=0.933)
题目解答
答案
根据题意，设X为任一时刻在使用的终端数，那么X服从二项分布，即X~B(400,0.8)。根据中心极限定理，当n充分大时，二项分布B(n,p)可以近似看作正态分布N(np,np(1-p))。所以X可以近似看作正态分布N(320,64)。
所以P(310≤X≤330)=P((310-320)/8≤(X-320)/8≤(330-320)/8)=P(-1.25≤Z≤1.25)=Φ(1.25)-Φ(-1.25)=2Φ(1.25)-1=2*0.894-1=0.788。
所以，在任一时刻有310~330个终端在使用的概率约为0.788。
解析
步骤 1：定义随机变量
设X为任一时刻在使用的终端数，那么X服从二项分布，即X~B(400,0.8)。
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当n充分大时，二项分布B(n,p)可以近似看作正态分布N(np,np(1-p))。所以X可以近似看作正态分布N(320,64)。
步骤 3：计算概率
P(310≤X≤330)=P((310-320)/8≤(X-320)/8≤(330-320)/8)=P(-1.25≤Z≤1.25)=Φ(1.25)-Φ(-1.25)=2Φ(1.25)-1=2*0.894-1=0.788。
设X为任一时刻在使用的终端数，那么X服从二项分布，即X~B(400,0.8)。
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当n充分大时，二项分布B(n,p)可以近似看作正态分布N(np,np(1-p))。所以X可以近似看作正态分布N(320,64)。
步骤 3：计算概率
P(310≤X≤330)=P((310-320)/8≤(X-320)/8≤(330-320)/8)=P(-1.25≤Z≤1.25)=Φ(1.25)-Φ(-1.25)=2Φ(1.25)-1=2*0.894-1=0.788。