题目

填空题（共9题，27.0分）9.（3.0分）设X_(1),X_(2),X_(3),X_(4)为来自正态总体N(1,2^2)的一个简单随机样本，overline(X)是样本均值，则统计量sum_(i=1)^4((X_(i)-1)/(2))^2sim x^2(_____)，统计量sum_(i=1)^4((X_(i)-overline(X))/(2))^2sim x^2(_____)。第一空请输入答案第二空请输入答案

填空题（共9题，27.0分） 9.（3.0分） 设$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$为来自正态总体$N(1,2^{2})$的一个简单随机样本，$\overline{X}$是样本均值， 则统计量$\sum_{i=1}^{4}(\frac{X_{i}-1}{2})^{2}\sim x^{2}($_____)，统计量$\sum_{i=1}^{4}(\frac{X_{i}-\overline{X}}{2})^{2}\sim x^{2}($_____)。 第一空 请输入答案 第二空 请输入答案

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要理解正态分布的性质和卡方分布。让我们一步步来分析。

第一空：统计量$\sum_{i=1}^{4}\left(\frac{X_{i}-1}{2}\right)^{2}$

  1. 识别分布：每个$X_i$来自正态总体$N(1, 2^2)$。这意味着$X_i \sim N(1, 4)$。
  2. 标准化变量：考虑变换$Z_i = \frac{X_i - 1}{2}$。由于$X_i \sim N(1, 4)$，标准化变量$Z_i$遵循标准正态分布，即$Z_i \sim N(0, 1)$。
  3. 平方和：统计量$\sum_{i=1}^{4}\left(\frac{X_{i}-1}{2}\right)^{2}$可以重写为$\sum_{i=1}^{4}Z_i^2$。标准正态变量的平方和遵循自由度等于变量数量的卡方分布。这里，我们有4个变量，所以$\sum_{i=1}^{4}Z_i^2 \sim \chi^2(4)$。

因此，第一空的答案是$\boxed{4}$。

第二空：统计量$\sum_{i=1}^{4}\left(\frac{X_{i}-\overline{X}}{2}\right)^{2}$

  1. 识别分布：样本均值$\overline{X}$由$\overline{X} = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}X_i$给出。由于每个$X_i \sim N(1, 4)$，样本均值$\overline{X} \sim N(1, \frac{4}{4}) = N(1, 1)$。
  2. 标准化变量：考虑变换$Y_i = \frac{X_i - \overline{X}}{2}$。与第一空不同，这里我们从每个$X_i$中减去样本均值$\overline{X}$，而不是总体均值1。变量$Y_i$不是标准正态变量，但它们的平方和遵循自由度为$n-1$的卡方分布，其中$n$是样本大小。这里，$n = 4$，所以自由度是$4-1 = 3$。
  3. 平方和：统计量$\sum_{i=1}^{4}\left(\frac{X_{i}-\overline{X}}{2}\right)^{2}$可以重写为$\sum_{i=1}^{4}Y_i^2$。这个和遵循自由度为3的卡方分布，即$\sum_{i=1}^{4}Y_i^2 \sim \chi^2(3)$。

因此，第二空的答案是$\boxed{3}$。

解析

本题主要考查正态分布的性质以及卡方分布的定义和相关定理。解题的关键在于理解如何将给定的统计量转化为符合卡方分布定义的形式，并根据样本均值的性质确定自由度。

第一空

  1. 已知$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$为来自正态总体$N(1,2^{2})$的简单随机样本，即$X_i\sim N(1, 4)$，$i = 1,2,3,4$。
  2. 对于标准正态分布的定义，若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。在这里$\mu = 1$，$\sigma = 2$，令$Z_i=\frac{X_i - 1}{2}$，那么$Z_i\sim N(0,1)$，$i = 1,2,3,4$。
  3. 根据卡方分布的定义：若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}Z_i^{2}\sim\chi^{2}(n)$。在本题中$n = 4$，所以$\sum_{i = 1}^{4}(\frac{X_i - 1}{2})^{2}=\sum_{i = 1}^{4}Z_i^{2}\sim\chi^{2}(4)$。

第二空

  1. 首先求样本均值$\overline{X}$的分布，已知$X_i\sim N(1, 4)$，$i = 1,2,3,4$，根据样本均值的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立且都服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，则样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。这里$n = 4$，$\mu = 1$，$\sigma^{2}=4$，所以$\overline{X}\sim N(1,\frac{4}{4}) = N(1,1)$。
  2. 考虑统计量$\sum_{i = 1}^{4}(\frac{X_i - \overline{X}}{2})^{2}$，根据数理统计中的定理：设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，$\overline{X}$是样本均值，则$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}=\sum_{i = 1}^{n}(\frac{X_i - \overline{X}}{\sigma})^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)$，其中$S^{2}$是样本方差。在本题中$n = 4$，$\sigma = 2$，所以$\sum_{i = 1}^{4}(\frac{X_i - \overline{X}}{2})^{2}\sim\chi^{2}(4 - 1)=\chi^{2}(3)$。