4.设连续型随机变量X的概率密度函数为 (x)=C(e)^-|x| -infty lt xlt +infty ,-|||-求:(1)常数C的值;(2)X的分布函数F (x);(3)和-|||-y=|x| 的概率密度函数.

本题主要考查连续型随机变量概率密度函数的性质、分布函数的求解以及随机变量函数的概率密度函数的求解。

（1）求常数$C$的值

根据连续型随机变量概率密度函数的性质，对于概率密度函数$f(x)$，有$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$。
已知$f(x)=Ce^{-|x|}$，因为$e^{-|x|}$是偶函数，即$e^{-| - x|}=e^{-|x|}$，所以$\int_{-\infty}^{+\infty}Ce^{-|x|}dx = 2C\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$。
计算$\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$：
根据积分公式$\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C_1$（$C_1$为常数），则$\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx=\lim\limits_{b \to +\infty}\int_{0}^{b}e^{-x}dx=\lim\limits_{b \to +\infty}(-e^{-x})\big|_{0}^{b}$
$=\lim\limits_{b \to +\infty}(-e^{-b}-(-e^{-0}))=\lim\limits_{b \to +\infty}(1 - e^{-b}) = 1$。
所以$2C\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx = 2C\times1 = 2C$，又因为$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$，则$2C = 1$，解得$C=\frac{1}{2}$。

（2）求$X$的分布函数$F(x)$

分布函数$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，需要分情况讨论：

• 当$x\lt 0$时：
  $F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{2}e^{-|t|}dt=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{2}e^{t}dt$
  根据积分公式$\int e^{t}dt=e^{t}+C_2$（$C_2$为常数），则$\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{2}e^{t}dt=\frac{1}{2}e^{t}\big|_{-\infty}^{x}=\frac{1}{2}e^{x}$。
• 当$x\geq 0$时：
  $F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{2}e^{-|t|}dt=\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{2}e^{t}dt+\int_{0}^{x}\frac{1}{2}e^{-t}dt$
  先计算$\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{2}e^{t}dt=\frac{1}{2}e^{t}\big|_{-\infty}^{0}=\frac{1}{2}(e^{0}-e^{-\infty})=\frac{1}{2}$。
  再计算$\int_{0}^{x}\frac{1}{2}e^{-t}dt=-\frac{1}{2}e^{-t}\big|_{0}^{x}=-\frac{1}{2}(e^{-x}-e^{-0})=\frac{1}{2}(1 - e^{-x})$。
  所以$F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1 - e^{-x}) = 1-\frac{1}{2}e^{-x}$。
  综上，$F(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{x}, & x\lt 0 \\ 1-\frac{1}{2}e^{-x}, & x\geq 0\end{cases}$。

（3）求$Y = |X|$的概率密度函数

先求$Y$的分布函数$F_Y(y)$，再对其求导得到概率密度函数$f_Y(y)$。

• 当$y\lt 0$时：
  $F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(|X|\leq y)=0$。
• 当$y\geq 0$时：
  $F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(|X|\leq y)=P(-y\leq X\leq y)=\int_{-y}^{y}\frac{1}{2}e^{-|x|}dx$
  因为$e^{-|x|}$是偶函数，所以$\int_{-y}^{y}\frac{1}{2}e^{-|x|}dx = 2\int_{0}^{y}\frac{1}{2}e^{-x}dx$
  $=-\int_{0}^{y}e^{-x}d(-x)=-e^{-x}\big|_{0}^{y}=1 - e^{-y}$。
  所以$F_Y(y)=\begin{cases}0, & y\lt 0 \\ 1 - e^{-y}, & y\geq 0\end{cases}$。
  对$F_Y(y)$求导得$f_Y(y)=F_Y^\prime(y)=\begin{cases}0, & y\lt 0 \\ e^{-y}, & y\geq 0\end{cases}$。