题目

设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩66.5分，标准差15分。在显著性水平0.05下，若认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，则假设检验中所得检验统计量t值与检验结果分别为（）A.1.4，接受原假设B.1.4，拒绝原假设C.-1.4，拒绝原假设D.-1.4，接受原假设

设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩66.5分，标准差15分。在显著性水平0.05下，若认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，则假设检验中所得检验统计量t值与检验结果分别为（）

A.1.4，接受原假设

B.1.4，拒绝原假设

C.-1.4，拒绝原假设

D.-1.4，接受原假设

题目解答

答案

设这次考试的学生成绩为X，则 $X\sim N\left(\mu,\sigma^2\right)$ ，在显著性水平0.05下，认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，总体方差未知条件下，在 $\alpha=0.05$ 下，假设检验 $H_0:\mu=70,H_1:\mu\ne70$ ，则使用统计量 $T=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t\left(n-1\right)$ ，则拒绝域为 $W=\left\{\left|t\right|\ge t_{\frac{\alpha}{2}}\left(n-1\right)\right\}=\left\{\left|t\right|\ge t_{0.025}\left(35\right)=2.0301\right\}$ ，其中 $\mu_0=70,S=15,n=36$ ，则检验统计量中 $t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}=\frac{66.5-70}{\frac{15}{\sqrt{36}}}=-1.4$ ，则 $\left|t\right|=\left|-1.4\right|<2.0301$ ，则接受原假设 $H_0$ ，因此选择D。

解析

步骤 1：确定假设检验的原假设和备择假设
设这次考试的学生成绩为X，则$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，在显著性水平0.05下，认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，即原假设$H_0: \mu = 70$，备择假设$H_1: \mu \neq 70$。

步骤 2：确定检验统计量
由于总体方差未知，使用样本标准差S来估计总体标准差，因此使用t检验统计量$T=\dfrac {\overline {X}-\mu }{\dfrac {S}{\sqrt {n}}}\sim t(n-1)$，其中$\overline {X}$是样本均值，$\mu$是总体均值，S是样本标准差，n是样本容量。

步骤 3：计算检验统计量的值
根据题目给出的数据，$\overline {X}=66.5$，$\mu=70$，$S=15$，$n=36$，代入检验统计量公式，得到$t=\dfrac {66.5-70}{\dfrac {15}{\sqrt {36}}}=-1.4$。

步骤 4：确定拒绝域
在显著性水平0.05下，自由度为$n-1=35$，查t分布表得到临界值$t_{0.025}(35)=2.0301$，因此拒绝域为$W=\{ t|\geqslant 2.0301\}$。

步骤 5：判断检验结果
由于计算得到的检验统计量值$|t|=|-1.4|\lt 2.0301$，不在拒绝域内，因此接受原假设$H_0$。