设有甲、乙、丙三个箱子，其中甲箱中有3个红球2个白球，乙箱中有2个红球3个白球，丙箱中有1个红球4个白球。现先投掷一枚均匀的骰子，若点数leq2，则取甲箱；若点数为3或者4，则取乙箱；若点数geq5，则取丙箱。然后再从选中的箱子里任取一球，则取到红球的概率为（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5

本题考查全概率公式的应用。解题思路是先确定取到甲、乙、丙三个箱子的概率，再分别计算从这三个箱子中取到红球的概率，最后根据全概率公式计算取到红球的总概率。

步骤一：计算取到甲、乙、丙三个箱子的概率

已知投掷一枚均匀的骰子，总共有$6$种等可能的结果。

• 若点数$\leq2$，则取甲箱，满足条件的点数有$1$、$2$，共$2$种情况，所以取到甲箱的概率$P(A_1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
• 若点数为$3$或者$4$，则取乙箱，满足条件的点数有$3$、$4$，共$2$种情况，所以取到乙箱的概率$P(A_2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
• 若点数$\geq5$，则取丙箱，满足条件的点数有$5$、$6$，共$2$种情况，所以取到丙箱的概率$P(A_3)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

步骤二：计算从甲、乙、丙三个箱子中取到红球的概率

• 甲箱中有$3$个红球$2$个白球，共$3 + 2 = 5$个球，所以从甲箱中取到红球的概率$P(B|A_1)=\frac{3}{5}$。
• 乙箱中有$2$个红球$3$个白球，共$2 + 3 = 5$个球，所以从乙箱中取到红球的概率$P(B|A_2)=\frac{2}{5}$。
• 丙箱中有$1$个红球$4$个白球，共$1 + 4 = 5$个球，所以从丙箱中取到红球的概率$P(B|A_3)=\frac{1}{5}$。

步骤三：根据全概率公式计算取到红球的概率

全概率公式为$P(B)=\sum_{i = 1}^{3}P(A_i)P(B|A_i)$，将上述计算结果代入可得：
$\begin{align*} P(B)&=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)\\ &=\frac{1}{3}\times\frac{3}{5}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{5}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}\\ &=\frac{3}{15}+\frac{2}{15}+\frac{1}{15}\\ &=\frac{3 + 2 + 1}{15}\\ &=\frac{6}{15}\\ &= 0.4 \end{align*}$