题目
[4.21]设总体 approx N(mu ,(sigma )^2), x1,x2,···,x1s是其一组样本值,已知-|||-sum _(i=1)^15(x)_(i)=8.7, sum _(i=1)^15({x)_(i)}^2=25.05,-|||-求置信水平为0.95的μ和a^2的置信区间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值 $\overline{x}$
样本均值 $\overline{x}$ 可以通过所有样本值的总和除以样本数量来计算。给定 $\sum _{i=1}^{15}{x}_{i}=8.7$ 和样本数量 $n=15$，我们有：
$$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum _{i=1}^{15}{x}_{i} = \frac{1}{15} \times 8.7 = 0.58$$
步骤 2：计算样本方差 ${S}^{2}$
样本方差 ${S}^{2}$ 可以通过以下公式计算：
$${S}^{2} = \frac{1}{n-1} \sum _{i=1}^{n} {({x}_{i} - \overline{x})}^{2}$$
根据给定的 $\sum _{i=1}^{15}{{x}_{i}}^{2}=25.05$ 和 $\overline{x} = 0.58$，我们有：
$${S}^{2} = \frac{1}{14} \left( \sum _{i=1}^{15}{{x}_{i}}^{2} - n \overline{x}^{2} \right) = \frac{1}{14} \left( 25.05 - 15 \times 0.58^{2} \right) = 1.429$$
步骤 3：确定置信区间
对于均值 $\mu$ 的置信区间，我们使用 t 分布。给定置信水平为 0.95，自由度为 $n-1=14$，查表得 ${t}_{\dfrac {e}{2}}(n-1)={t}_{0.025}(14)=2.1448$。均值 $\mu$ 的置信区间为：
$$\mu : \left[ \overline{x} - {t}_{\dfrac {e}{2}}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + {t}_{\dfrac {e}{2}}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} \right]$$
代入数值，我们得到：
$$\mu : \left[ 0.58 - 2.1448 \times \frac{\sqrt{1.429}}{\sqrt{15}}, 0.58 + 2.1448 \times \frac{\sqrt{1.429}}{\sqrt{15}} \right] = [-0.082, 1.242]$$
对于方差 ${\sigma}^{2}$ 的置信区间，我们使用卡方分布。给定置信水平为 0.95，自由度为 $n-1=14$，查表得 ${\chi}^{2}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)={\chi}^{2}_{0.025}(14)=26.119$ 和 ${\chi}^{2}_{1-\dfrac {a}{2}}(n-1)={\chi}^{2}_{0.975}(14)=5.629$。方差 ${\sigma}^{2}$ 的置信区间为：
$${\sigma}^{2} : \left[ \frac{(n-1){S}^{2}}{{\chi}^{2}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)}, \frac{(n-1){S}^{2}}{{\chi}^{2}_{1-\dfrac {a}{2}}(n-1)} \right]$$
代入数值，我们得到：
$${\sigma}^{2} : \left[ \frac{14 \times 1.429}{26.119}, \frac{14 \times 1.429}{5.629} \right] = [0.766, 3.554]$$
样本均值 $\overline{x}$ 可以通过所有样本值的总和除以样本数量来计算。给定 $\sum _{i=1}^{15}{x}_{i}=8.7$ 和样本数量 $n=15$，我们有：
$$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum _{i=1}^{15}{x}_{i} = \frac{1}{15} \times 8.7 = 0.58$$
步骤 2：计算样本方差 ${S}^{2}$
样本方差 ${S}^{2}$ 可以通过以下公式计算：
$${S}^{2} = \frac{1}{n-1} \sum _{i=1}^{n} {({x}_{i} - \overline{x})}^{2}$$
根据给定的 $\sum _{i=1}^{15}{{x}_{i}}^{2}=25.05$ 和 $\overline{x} = 0.58$，我们有：
$${S}^{2} = \frac{1}{14} \left( \sum _{i=1}^{15}{{x}_{i}}^{2} - n \overline{x}^{2} \right) = \frac{1}{14} \left( 25.05 - 15 \times 0.58^{2} \right) = 1.429$$
步骤 3：确定置信区间
对于均值 $\mu$ 的置信区间，我们使用 t 分布。给定置信水平为 0.95，自由度为 $n-1=14$，查表得 ${t}_{\dfrac {e}{2}}(n-1)={t}_{0.025}(14)=2.1448$。均值 $\mu$ 的置信区间为：
$$\mu : \left[ \overline{x} - {t}_{\dfrac {e}{2}}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + {t}_{\dfrac {e}{2}}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} \right]$$
代入数值，我们得到：
$$\mu : \left[ 0.58 - 2.1448 \times \frac{\sqrt{1.429}}{\sqrt{15}}, 0.58 + 2.1448 \times \frac{\sqrt{1.429}}{\sqrt{15}} \right] = [-0.082, 1.242]$$
对于方差 ${\sigma}^{2}$ 的置信区间，我们使用卡方分布。给定置信水平为 0.95，自由度为 $n-1=14$，查表得 ${\chi}^{2}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)={\chi}^{2}_{0.025}(14)=26.119$ 和 ${\chi}^{2}_{1-\dfrac {a}{2}}(n-1)={\chi}^{2}_{0.975}(14)=5.629$。方差 ${\sigma}^{2}$ 的置信区间为：
$${\sigma}^{2} : \left[ \frac{(n-1){S}^{2}}{{\chi}^{2}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)}, \frac{(n-1){S}^{2}}{{\chi}^{2}_{1-\dfrac {a}{2}}(n-1)} \right]$$
代入数值，我们得到：
$${\sigma}^{2} : \left[ \frac{14 \times 1.429}{26.119}, \frac{14 \times 1.429}{5.629} \right] = [0.766, 3.554]$$