题目
设X1,X2,···,X5为来自总体N(10,1.6)的一个样本,其中X为样本均值,-|||-试求概率 9.2lt Xlt 10.8 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于总体 $X\sim N(10,1.6)$，样本容量 $n=5$，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 服从期望为10，方差为 $\dfrac{1.6}{5} = 0.32$ 的正态分布，即 $\overline{X}\sim N(10,0.32)$。
步骤 2：标准化样本均值
为了计算概率 $P\{ 9.2\lt \overline{X}\lt 10.8\}$，需要将样本均值标准化。标准化后的变量为 $\dfrac{\overline{X}-10}{\sqrt{0.32}}$，它服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 3：计算标准化后的概率
将 $9.2$ 和 $10.8$ 标准化，得到 $P\{ \dfrac{9.2-10}{\sqrt{0.32}}\lt \dfrac{\overline{X}-10}{\sqrt{0.32}}\lt \dfrac{10.8-10}{\sqrt{0.32}}\}$，即 $P\{ -\sqrt{2}\lt \dfrac{\overline{X}-10}{\sqrt{0.32}}\lt \sqrt{2}\}$。利用标准正态分布表，可以计算出这个概率。
步骤 4：利用标准正态分布表计算概率
$P\{ -\sqrt{2}\lt \dfrac{\overline{X}-10}{\sqrt{0.32}}\lt \sqrt{2}\} = \Phi(\sqrt{2}) - \Phi(-\sqrt{2}) = 2\Phi(\sqrt{2}) - 1$。其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。根据标准正态分布表，$\Phi(1.414) \approx 0.9207$，因此 $2\Phi(1.414) - 1 \approx 2 \times 0.9207 - 1 = 0.8414$。
由于总体 $X\sim N(10,1.6)$，样本容量 $n=5$，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 服从期望为10，方差为 $\dfrac{1.6}{5} = 0.32$ 的正态分布，即 $\overline{X}\sim N(10,0.32)$。
步骤 2：标准化样本均值
为了计算概率 $P\{ 9.2\lt \overline{X}\lt 10.8\}$，需要将样本均值标准化。标准化后的变量为 $\dfrac{\overline{X}-10}{\sqrt{0.32}}$，它服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 3：计算标准化后的概率
将 $9.2$ 和 $10.8$ 标准化，得到 $P\{ \dfrac{9.2-10}{\sqrt{0.32}}\lt \dfrac{\overline{X}-10}{\sqrt{0.32}}\lt \dfrac{10.8-10}{\sqrt{0.32}}\}$，即 $P\{ -\sqrt{2}\lt \dfrac{\overline{X}-10}{\sqrt{0.32}}\lt \sqrt{2}\}$。利用标准正态分布表，可以计算出这个概率。
步骤 4：利用标准正态分布表计算概率
$P\{ -\sqrt{2}\lt \dfrac{\overline{X}-10}{\sqrt{0.32}}\lt \sqrt{2}\} = \Phi(\sqrt{2}) - \Phi(-\sqrt{2}) = 2\Phi(\sqrt{2}) - 1$。其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。根据标准正态分布表，$\Phi(1.414) \approx 0.9207$，因此 $2\Phi(1.414) - 1 \approx 2 \times 0.9207 - 1 = 0.8414$。