题目
设总体×的分布密度为××试求样本×的联合分布密度；×求×的矩估计量。
设总体
的分布密度为
试求样本
的联合分布密度；
求
的矩估计量。
题目解答
答案
本题答案为：
解：由题可得：根据样本和总体分布关系，即样本之间相互独立且与总体是同分布的，由此可知：
样本相互独立，且其概率分布为：
根据其相互独立可得：联合分布密度为：
本题中要求的参数就一个，故矩估计只需要一个方程
而的分布密度为
所以：
所以可得：
所以的矩估计量为：
所以本题答案为：
解析
步骤 1：求样本的联合分布密度
根据样本和总体分布关系，即样本之间相互独立且与总体是同分布的，由此可知：
样本(x1,X2,···,Xn)相互独立，且其概率分布为：$f(x,\theta )=$ $\left \{ \begin{matrix} \theta {x}_{i},0\leqslant {x}_{i}\leqslant 1\\ 0,else\end{matrix} \right.$
根据其相互独立可得：联合分布密度为：$f({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n})=\prod _{i=1}^{n}f(x_i)$
$=\prod _{i=1}^{n}\theta x_i$
$={\theta }^{n}\prod _{i=1}^{n}x_i$
步骤 2：求的矩估计量
本题中要求的参数就一个，故矩估计只需要一个方程$\overline {QX}={A}_{1}={\overline {n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}=\overline {X}$
而的分布密度为$f(x,\theta )=$ $\left \{ \begin{matrix} \theta x,0\leqslant x\leqslant 1\\ 0,else\end{matrix} \right.$
所以：$\overline {QX}={\int }_{0}^{1}xf(x)dx={\int }_{0}^{1}x\theta xdx$
$={\int }_{0}^{1}\theta x^2dx$
$=\dfrac {1}{3}\theta$
所以可得：$\dfrac {1}{3}\theta =\overline {X}$
所以的矩估计量为：$\hat {\theta }=3\overline {X}$
根据样本和总体分布关系，即样本之间相互独立且与总体是同分布的，由此可知：
样本(x1,X2,···,Xn)相互独立，且其概率分布为：$f(x,\theta )=$ $\left \{ \begin{matrix} \theta {x}_{i},0\leqslant {x}_{i}\leqslant 1\\ 0,else\end{matrix} \right.$
根据其相互独立可得：联合分布密度为：$f({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n})=\prod _{i=1}^{n}f(x_i)$
$=\prod _{i=1}^{n}\theta x_i$
$={\theta }^{n}\prod _{i=1}^{n}x_i$
步骤 2：求的矩估计量
本题中要求的参数就一个，故矩估计只需要一个方程$\overline {QX}={A}_{1}={\overline {n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}=\overline {X}$
而的分布密度为$f(x,\theta )=$ $\left \{ \begin{matrix} \theta x,0\leqslant x\leqslant 1\\ 0,else\end{matrix} \right.$
所以：$\overline {QX}={\int }_{0}^{1}xf(x)dx={\int }_{0}^{1}x\theta xdx$
$={\int }_{0}^{1}\theta x^2dx$
$=\dfrac {1}{3}\theta$
所以可得：$\dfrac {1}{3}\theta =\overline {X}$
所以的矩估计量为：$\hat {\theta }=3\overline {X}$