6.单选题设函数f(x)=x^4-3x+1，下列选项不正确的是（）A. 函数f(x)在闭区间[-1,1]上连续B. f(-1)f(1)C. 存在ξ∈(-1,1)，使得f(ξ)=0D. 方程x^4-3x+1=0在(-1,1)内至少有2个实根

考查要点：本题主要考查多项式函数的连续性、零点存在定理（介值定理）、导数的应用（判断函数单调性与极值点），以及方程实根个数的判断。

解题核心思路：

1. 选项A：利用多项式函数的连续性直接判断；
2. 选项B：直接计算端点函数值的乘积；
3. 选项C：结合连续性和零点存在定理；
4. 选项D：通过导数分析函数单调性，结合特定点的函数值判断零点个数。

破题关键点：

• 选项D需注意：即使存在一个极值点，若函数在区间内仅穿过x轴一次，则方程只有一个实根。需通过计算特定点的函数值验证是否存在多个零点。

选项A

多项式函数$f(x)=x^4-3x+1$在其定义域$\mathbb{R}$上连续，因此在闭区间$[-1,1]$上必然连续。选项A正确。

选项B

计算端点函数值：

• $f(-1)=(-1)^4-3(-1)+1=1+3+1=5$；
• $f(1)=1^4-3(1)+1=1-3+1=-1$；
  乘积为$f(-1)f(1)=5 \times (-1)=-5<0$。选项B正确。

选项C

函数$f(x)$在$[-1,1]$上连续，且$f(-1)f(1)<0$，根据零点存在定理，存在$\xi \in (-1,1)$使得$f(\xi)=0$。选项C正确。

选项D

1. 求导分析单调性：
   $f'(x)=4x^3-3$
   令$f'(x)=0$，解得$x=\sqrt[3]{\frac{3}{4}} \approx 0.908 \in (-1,1)$，即函数在区间内有一个极值点。

2. 计算关键点函数值：

   • $f(0)=0^4-3 \times 0 +1=1>0$；
   • $f(0.5)=0.5^4-3 \times 0.5 +1=0.0625-1.5+1=-0.4375<0$；
   • $f(1)=-1<0$。

3. 零点分布分析：

   • 在$(0,0.5)$区间，函数由正变负，存在一个零点；
   • 在$(0.5,1)$区间，函数值保持负数，无零点；
   • 在$(-1,0)$区间，函数值始终为正，无零点。

综上，方程在$(-1,1)$内仅有一个实根，选项D错误。