9 单选 (4分) 设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的一个样本，且X~P(λ)，则P(X=0)的最大似然估计量为( ).A. e^-overline(X)B. e^-2overline(X)C. e^-3overline(X)D. e^-4overline(X)

本题考查最大似然估计的知识。解题思路是先根据总体$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布$X\sim P(\lambda)$，写出其概率分布，再根据样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$构建似然函数，接着对似然函数取对数求导并令导数为$0$，从而得到参数$\lambda$的最大似然估计量，最后将$\lambda$的最大似然估计量代入$P\{X = 0\}$的表达式中，得到$P\{X = 0\}$的最大似然估计量。

步骤一：写出总体$X$的概率分布

已知$X\sim P(\lambda)$，根据泊松分布的概率质量函数，可得$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，$k = 0, 1, 2, \cdots$。
那么$P\{X = 0\} = \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!}=e^{-\lambda}$。

步骤二：构建似然函数

设$x_1,x_2,\cdots,x_n$是样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$的一组观测值，由于样本中的各个样本点相互独立且都服从$X\sim P(\lambda)$，所以似然函数为：
$L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}P\{X_i = x_i\}=\prod_{i = 1}^{n}\frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}=e^{-n\lambda}\frac{\lambda^{\sum_{i = 1}^{n}x_i}}{\prod_{i = 1}^{n}x_i!}$

步骤三：对似然函数取对数

为了方便计算，对似然函数$L(\lambda)$取自然对数，得到对数似然函数：
$\ln L(\lambda)=\ln\left(e^{-n\lambda}\frac{\lambda^{\sum_{i = 1}^{n}x_i}}{\prod_{i = 1}^{n}x_i!}\right)=-n\lambda + \left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\right)\ln\lambda - \ln\left(\prod_{i = 1}^{n}x_i!\right)$

步骤四：求对数似然函数的导数并令其为$0$

对$\ln L(\lambda)$关于$\lambda$求导：
$\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=-n + \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{\lambda}$
令$\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=0$，即$-n + \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{\lambda}=0$，
移项可得$\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{\lambda}=n$，
解得$\lambda=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{n}=\overline{x}$，所以$\lambda$的最大似然估计量为$\hat{\lambda}=\overline{X}$。

步骤五：求$P\{X = 0\}$的最大似然估计量

将$\hat{\lambda}=\overline{X}$代入$P\{X = 0\}=e^{-\lambda}$中，可得$P\{X = 0\}$的最大似然估计量为$e^{-\overline{X}}$。