当 x arrow 0 时，下列函数中哪一个与 sin x 是等价无穷小？A. tan xB. x^2C. e^xD. 1 - cos x

本题主要考察等价无穷小的概念及常见等价无穷小的应用。当$x \to 0$时，若两个无穷小量$\alpha(x)$与$\beta(x)$满足$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，则称它们是等价无穷小。

选项分析

• 选项A：$\tan x$
  利用等价无穷小替换：当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，且$\cos x \to 1$，则：
  $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1$
  因此$\tan x$与$\sin x$是等价无穷小。

• 选项B：$x^2$
  $\sin x$是$x$的一阶无穷小，$x^2$是二阶无穷小，显然：
  $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0 \neq 1$
  故$x^2$与$\sin x$不是等价无穷小。

• 选项C：$e^x$
  当$x \to 0$时，$e^x \sim x + 1$，则：
  $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + x + o(x)}{x + o(x)} = \infty \neq 1$
  故$e^x$与$\sin x$不是等价无穷小。

• 选项D：$1 - \cos x$
  由二倍角公式$1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$，等价无穷小$\sin \frac{x}{2} \sim \frac{x}{2}$，则：
  $1 - \cos x \sim 2\left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{2}$
  是二阶无穷小，与$\sin x$（一阶）极限比为0，不相等：
  $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = 0 \neq 1$