题目
设随机变量序列X_(1),X_(2),...,X_(n),...独立同分布,且E(X_(i))=mu,D(X_(i))=sigma^2,sigma>0,i=1,2,...。Phi(x)为标准正态分布函数,则对于任意实数x,lim_(ntoinfty)P(sum_{i=1)^nX_(i)-nmu)/(sqrt(n)sigma)leq x}=( )A. 0;B. Phi(x);C. 1-Phi(x);D. 1
设随机变量序列$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$独立同分布,且$E(X_{i})=\mu,D(X_{i})=\sigma^{2},\sigma>0,i=1,2,\cdots$。$\Phi(x)$为标准正态分布函数,则对于任意实数x,
$\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leq x\right\}=( )$
A. 0;
B. $\Phi(x);$
C. 1-$\Phi(x);$
D. 1
题目解答
答案
B. $\Phi(x);$
解析
步骤 1：应用中心极限定理
中心极限定理指出，对于独立同分布的随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，当 $n$ 趋于无穷大时，标准化和 $\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$ 收敛于标准正态分布 $N(0,1)$。这意味着，对于任意实数 $x$，当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$ 的分布将趋近于标准正态分布。
步骤 2：计算概率极限
根据中心极限定理，对于任意实数 $x$，当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$ 的分布将趋近于标准正态分布 $N(0,1)$。因此，对于任意实数 $x$， \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \leq x\right\} = \Phi(x) \] 其中，$\Phi(x)$ 为标准正态分布函数。
中心极限定理指出，对于独立同分布的随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，当 $n$ 趋于无穷大时，标准化和 $\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$ 收敛于标准正态分布 $N(0,1)$。这意味着，对于任意实数 $x$，当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$ 的分布将趋近于标准正态分布。
步骤 2：计算概率极限
根据中心极限定理，对于任意实数 $x$，当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$ 的分布将趋近于标准正态分布 $N(0,1)$。因此，对于任意实数 $x$， \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \leq x\right\} = \Phi(x) \] 其中，$\Phi(x)$ 为标准正态分布函数。