题目
一个螺丝钉重量是一个随机变量,期望值是1两,标准差是0.1两.求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.
一个螺丝钉重量是一个随机变量,期望值是1两,标准差是0.1两.求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.
题目解答
答案
解 设一盒重量为X,盒中第i个螺丝钉的重量为Xi(i=1,2,…,100).X1,X2,…,X100相互独立,E(Xi)=1,
=0.1,则有
X=
,且E(X)=100·E(Xi)=100(两),=1(两).
根据中心极限定理,有
P{X>102}=
≈1-Φ(2)=1-0.977250=0.022750.
解析
步骤 1：定义随机变量
设一盒螺丝钉的总重量为随机变量X，盒中第i个螺丝钉的重量为随机变量Xi(i=1,2,…,100)。根据题意，Xi相互独立，且E(Xi)=1两，$\sqrt {D({X}_{i})}$ =0.1两。
步骤 2：计算总重量的期望和方差
由于X是100个Xi的和，即X = X1 + X2 + ... + X100，根据期望和方差的性质，有E(X) = E(X1 + X2 + ... + X100) = 100 * E(Xi) = 100两，D(X) = D(X1 + X2 + ... + X100) = 100 * D(Xi) = 100 * (0.1)^2 = 1两^2，因此$\sqrt {D({X}_{i})}$ = 1两。
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，随机变量的和近似服从正态分布。因此，X近似服从N(100, 1)的正态分布。要计算X超过10.2斤的概率，首先需要将10.2斤转换为两，即10.2 * 10 = 102两。然后，计算标准化后的Z值，即Z = (X - E(X)) / $\sqrt {D({X}_{i})}$ = (102 - 100) / 1 = 2。最后，查标准正态分布表，得到P(Z > 2) = 1 - P(Z ≤ 2) = 1 - Φ(2) = 1 - 0.977250 = 0.022750。
设一盒螺丝钉的总重量为随机变量X，盒中第i个螺丝钉的重量为随机变量Xi(i=1,2,…,100)。根据题意，Xi相互独立，且E(Xi)=1两，$\sqrt {D({X}_{i})}$ =0.1两。
步骤 2：计算总重量的期望和方差
由于X是100个Xi的和，即X = X1 + X2 + ... + X100，根据期望和方差的性质，有E(X) = E(X1 + X2 + ... + X100) = 100 * E(Xi) = 100两，D(X) = D(X1 + X2 + ... + X100) = 100 * D(Xi) = 100 * (0.1)^2 = 1两^2，因此$\sqrt {D({X}_{i})}$ = 1两。
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，随机变量的和近似服从正态分布。因此，X近似服从N(100, 1)的正态分布。要计算X超过10.2斤的概率，首先需要将10.2斤转换为两，即10.2 * 10 = 102两。然后，计算标准化后的Z值，即Z = (X - E(X)) / $\sqrt {D({X}_{i})}$ = (102 - 100) / 1 = 2。最后，查标准正态分布表，得到P(Z > 2) = 1 - P(Z ≤ 2) = 1 - Φ(2) = 1 - 0.977250 = 0.022750。