1.设一页书上的错别字个数服从泊松分布P(λ),λ有两个可能取值:1.5-|||-和1.8,且先验分布为-|||-(lambda =1.5)=0.45 (lambda =1.8)=0.55,-|||-现检查了一页,发现有3个错别字,试求λ的后验分布.

本题考查泊松分布以及贝叶斯公式在求后验分布中的应用。解题的关键思路是先根据泊松分布的概率公式求出在不同 $\lambda$ 值下出现 3 个错别字的条件概率，再利用全概率公式求出出现 3 个错别字的边缘概率，最后根据贝叶斯公式求出 $\lambda$ 的后验分布。

步骤一：计算条件概率

已知错别字个数 $X$ 服从泊松分布 $P(\lambda)$，其概率质量函数为 $P(X = k|\lambda)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$。
当 $\lambda = 1.5$ 且 $k = 3$ 时，$P(X = 3|\lambda = 1.5)=\frac{1.5^3 e^{-1.5}}{3!}=\frac{3.375}{6}e^{-1.5}=0.5625e^{-1.5}$。
当 $\lambda = 1.8$ 且 $k = 3$ 时，$P(X = 3|\lambda = 1.8)=\frac{1.8^3 e^{-1.8}}{3!}=\frac{5.832}{6}e^{-1.8}=0.972e^{-1.8}$。

步骤二：计算边缘概率

根据全概率公式 $P(X = 3)=P(X = 3|\lambda = 1.5)P(\lambda = 1.5)+P(X = 3|\lambda = 1.8)P(\lambda = 1.8)$。
已知 $P(\lambda = 1.5)=0.45$，$P(\lambda = 1.8)=0.55$，将前面计算的条件概率代入可得：
$\begin{align*}P(X = 3)&=0.5625e^{-1.5}\times0.45 + 0.972e^{-1.8}\times0.55\\&=0.253125e^{-1.5}+0.5346e^{-1.8}\\&\approx0.253125\times0.22313 + 0.5346\times0.1653\\&\approx0.05648+0.08837\\&=0.14485\end{align*}$

步骤三：计算后验分布

根据贝叶斯公式 $P(\lambda = 1.5|X = 3)=\frac{P(X = 3|\lambda = 1.5)P(\lambda = 1.5)}{P(X = 3)}$，将前面计算的值代入可得：
$\begin{align*}P(\lambda = 1.5|X = 3)&=\frac{0.253125e^{-1.5}}{0.253125e^{-1.5}+0.5346e^{-1.8}}\\&\approx\frac{0.05648}{0.14485}\\&= 0.3899\end{align*}$
因为 $\lambda$ 只有 1.5 和 1.8 两个取值，所以 $P(\lambda = 1.8|X = 3)=1 - P(\lambda = 1.5|X = 3)=1 - 0.3899 = 0.6101$。